
大学受験問題の参考書にのっているのですが、わかりません。よろしくお願いします。
この問題は、行列なので、行列の中は、(a,b,c,d)=(左上、右上、左下、右下)というように書かせてもらいます。
問題は、
2x2行列A=(a,b,c,d)に対し、Δ(A)=ad-bcとする。このとき、次の等式を証明せよ。
Aが逆行列をもつとき、Δ(A^-1)=Δ(A)^-1
私は実際に計算し、等号で結ぼうと思いました。
私の計算結果は次の通りです。
A^-1=1/(ad-bc)(d,-b,-c,a)より
Δ(A^-1)=(1/(ad-bc))*(ad-bc)=1・・・I
Δ(A)^-1=(ad-bc)^-1=1/(ad-bc)
ですが、上記のように、答えがありません。
解答はこのように具体的には計算しない解法なのですが、
私のように実際に計算しても答えは合うはずですよね?
でもどこが間違っているのかわかりません。
どなたかご存知の方、アドバイスをいただけませんか。
よろしくお願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
具体的に計算する方法でも構いません。
しかし、この計算途中にミスがあります。
あなたの式
A^-1=1/(ad-bc)(d,-b,-c,a)より
Δ(A^-1)=(1/(ad-bc))*(ad-bc)=1
★1つ目の式は合っています。
しかし、2つ目の式を考える前に考えるべき事があります。
A^-1=1/(ad-bc)(d,-b,-c,a)
={d/(ad-bc),-b/(ad-bc),-c/(ad-bc),a/(ad-bc)}
なので、2つ目の式は,
Δ(A^-1)=(1/(ad-bc)^2)*(ad-bc)=1/(ad-bc)
となります。
行列の前にかかる係数(ここでは1/(ad-bc)です。)
は行列内の数全部にかかっているのです。分配法則みたいなものです。
この問題でのΔは、行列内の数を2つかけあわせたものの差なので、Δ(A^-1)を考える時には,Δ(d,-b,-c,a)に1/(ad-bc)の2乗をかけなければいけません。
pocopecoさま、御回答ありがとうございます。
かっこの外の係数が分配法則に従うことは知っていましたが、そこの計算過程で間違っているはずがない、と頭の中で考えていたので、ミスをしてしまいました。実際今、やってみますと、回答どおりにいきました。どうもありがとうございました。
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