何故ベクトルの和の定義は↑AB+↑BC=↑ACなのですか？

何故ベクトルの和の定義は
↑AB+↑AC=↑BCでもなく
↑AB+↑BC=↑CAでもなく
↑AB+↑BC=↑ACなのですか？
他にも組み合わせはあると思いますが……。
引き算に関しても同様に、
何故↑AB-↑BC＝↑CA
と定められているのでしょうか？

いつもベクトルの計算を間違えてしまいます。

また、ベクトルの減法と逆ベクトルの違いが分かりません。

余談ですが、ベクトルの→をアルファベットの上につけることって出来ないのですか？
盛りだくさんですが、よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 皆様ご回答ありがとうございます。
  ベクトルの定義って自然なんですかね……。
  AからCに行くためにBを経由してABとBCと行くのと、ACに直接行く二通りの行き方があり、それを表しているのは分かるんですけど、正直、ACの長さってAB+ACに比べて短くない?と思うのです。まあ、向きを考慮していないからそう感じるのだ、と突っ込まれるのは百も承知ですが……。
  個人的にしっくりくるのは画像一番上のパターンで
  AB+AC=BCです。１つの同じ始点からバラバラの方向に進んだ２つの量の終点間の大きさ(量)をBCがうまく表しているように見えるというか、何というか。BCの大きさと向きでAB、ACがどれくらいの長さで、どれだけ違う方向に進んだかが分かりそうなものではないですか?
  まあ、ただの一人間が駄々ををこねてもしょうがないとは分かって入るのですがね。

    補足日時：2022/05/21 11:13

• 補足
  AB+BCに比べて短くない?の間違いです。
  すみませんでした。

    補足日時：2022/05/21 11:15

No.9 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/21 11:26

もし

↑AB+↑AC=↑BC
だと仮定すると

↑AB+↑AB=↑BB=0

と短くなってしまうので間違いです

↑AB+↑AB=2↑AB

と
2倍の長さになります

この回答へのお礼

私の考えが間違ったものだと分かりやすく教えていただき、すっきりしました。
ありがとうございました。

お礼日時：2022/05/25 14:38

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/21 18:23

私は元物理で物理ではベクトルを沢山使いますが

例えば力はベクトルです。

A点に荷物にひもつけて、AB方向とAC方向の力で引くとしましょう。
合成された力(和ベクトル)はAB方向とAC方向の中間の何処かの方向に
なります。

でもあなたのベクトル和を使うと荷物はあさっての方向へすっ飛ぶことに
なり、物理学は粉々です。

ベクトルの「違い」をあらわすのは
ベクトルの「差」です。
3と2の違いは5じゃなくて1
ということと同じです。

No.10 回答者： finalbento 回答日時： 2022/05/21 13:56

補足に書かれたベクトルの和の定義の案について。

ベクトルとは普通の数(スカラー)を拡張した概念です。あるいは「ベクトルの中の特別なものがスカラー」と言う事もできるでしょう。いずれにしろベクトルの和とスカラーの和は統一的に扱われるべきものですが、質問者様の案ではベクトルの計算とスカラーの計算が全く別物になって不自然に思われます。

No.8 回答者： windwald 回答日時： 2022/05/21 11:20

>ACの長さってAB+ACに比べて短くない?

これはAB+BCの誤記だと思いますが、
長さについて AB+BC=AC が成り立つのはABとBC、ACが平行な直線または同一直線上にある場合だけです。ベクトルでは無い量(スカラー)の足し算というのは、この平行または同一直線上のベクトルの足し算という特殊な場合だけを考えていただけのことです。

特殊な場合の法則は、一般に当てはまるとは限りません。
正の数a,bについて a^2=b^2 ⇒ a=b は成立するけど、
実数a,bについて同様のことは成り立たないのと同じです

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2022/05/21 08:27

ベクトルの減法と逆ベクトルについてですが、普通の数の場合も「aを引く」と「-aを加える」は同じ事ですよね。

なのでベクトルの場合も「ベクトルaを引く」と「逆ベクトル-aを加える」は同じ事になります。

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2022/05/21 08:18

ベクトルとは(普通の)数を拡張した概念です。

なのでベクトルの和も数の和の延長線上で決めるのが自然な考え方です。そして数の和がa+bであるならば、ベクトル(a,b)とベクトル(c,d)の和は(a+c,b+d)と決めるのが自然である事に異論はないでしょう。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/20 10:43

平行四辺形の図で覚えた方がいい。

↑A=(a1、a2)
↑B=(b1、b2)
の時
↑A+↑B=(a1+b1、a2+b2)
と成分毎の和になるのがベクトルの和
図に目盛りを入れて確認しよう。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/20 08:52

足し算については、

何故と言われても
「そのように定義したから」としか言えない。
足し算がそうじゃないものは「ベクトル」とは呼ばない
だけの話。

引き算については、
足し算が ↑BC + ↑CA = ↑BA だから
移項して ↑BA - ↑BC ＝ ↑CA
に決まる。
↑AB - ↑BC ＝ ↑CA ではないよ。

No.3 回答者： windwald 回答日時： 2022/05/20 00:40

「北へ5歩」移動したあとに「東へ10歩」移動することを考えてみてください。

ベクトルの足し算の定義がとても自然な定義であると分かるはずです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/19 20:23

AからBへ移動してから

BからCへ移動する
ことは
AからCへ移動する事と同じと考えます

↑AB=A→B
と
↑BC=B→C
を
加えると

A→B→C
に
なるから

↑AB+↑BC=A→B→C=↑AC

-------------------------------------
↑AB+↑AC

↑ACを平行移動したものを↑BDとすると
↑AC=↑BD
だから

↑AB+↑AC=↑AB+↑BD=A→B→D=↑AD

---------------------------------------
↑AB-↑BC=↑CA は間違いです

-↑BC=↑CB
↑CBを平行移動したものを↑BDとすると
↑CB=↑BD
だから

↑AB-↑BC=↑AB+(-↑BC)=↑AB+↑CB=↑AB+↑BD=↑AD