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2次元で、3点(X1,Y1), (X2,Y2), (X3,Y3) が既知のとき、
これらの点を通る円の曲率の求め方を教えて頂けないでしょうか?また、3次元で4点がわかっている時の求め方も教えて頂けないでしょうか?

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A 回答 (4件)

2次元の場合の曲率ρは,3点A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3)で作られる三角形の外接円の半径Rの逆数を求めればいいので,正弦定理より,


ρ=1/R=2sinA/|BC|
を利用して求めるといいでしょう.ここでsinAの値を求めるにはいくつかやり方があるかと思いますが,ここでは簡単に2次元ベクトルの外積を利用して,
|AB↑×AC↑|=|AB||AC|sinA
から求めてみます.左辺は
AB↑×AC↑=(OB↑-OA↑)×(OC↑-OA↑)=OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA↑
と変形できますので,曲率ρは,
ρ=2|AB↑×AC↑|/|AB||AC||BC|=2|OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA↑|/|AB||BC||CA|
と表すことができます.ここで具体的に座標の値を入れてあげると,
OA↑×OB↑=X1Y2-X2Y1
|AB|=√((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)
より,最終的に
ρ=2|X1Y2-X2Y1+X2Y3-X3Y2+X3Y1-X1Y3|/√[((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2)((X3-X1)^2+(Y3-Y1)^2)]
となります.

3次元になると,一般化の計算は何か上手い方法を見つけないと大変でしょうね.^^
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No.1です。



辺々引くことによって2乗の項が消えますので、そんなに大変ではないと思いますが。(辺々引くことによって2乗の項を消すのが、シンプルにするテクニックと言えるのかも知れません。)

例:3点が、(1,2),(3,7),(5,4)のとき

(1-p)^2+(2-q)^2=r^2…(1)
(3-p)^2+(7-q)^2=r^2…(2)
(5-p)^2+(4-q)^2=r^2…(3)

(1)→p^2-2p+q^2-4q+5=r^2……(4)
(2)→p^2-6p+q^2-14q+58=r^2…(5)
(3)→p^2-10p+q^2-8q+41=r^2…(6)

(4)-(5)より、4p+10q-53=0…(7)
(5)-(6)より、4p-6q+17=0……(8)

(7)-(8)より、16q-70=0
よって、q=35/8
(以下、例えば(7)によりpを求め、次に例えば(4)によりrを求めればよい。そして、1/rが曲率。)
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ベクトルで計算してみては?


最初の3点をp1,p2,p3とするならば、
p1,p2の中点をm1、p2,p3の中点をm2とし、
中点m1,m2を通り、
そのベクトル→p1p2 →p2p3に垂直な線上に円の中心があります。
よって二つの直線の交点に円の中心点が存在します。


同様に三次元空間では二点の中点を通る二点のベクトルを法線とする面上に球面の中心がありますので、平行でない3つの面から中心点を求めることができます。
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円の曲率ですか?


円の曲率は半径の逆数ですので、要するにその3点を通る円の半径が判ればいいです。

例えば、円の方程式を(x-p)^2+(y-q)^2=r^2とでも置いて(中心が(p,q)、半径がrということ)、xとyにそれぞれ(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3)を代入して、p,q,rの連立方程式を解けばよいのでは。

この回答への補足

その方法でやったのですが、検算しても、どうも間違っているようです。なにか、計算をシンプルにするようなテクニックなどはありますか?
また、3次元の曲面に適用する際も単純な方法だと計算がかなり大変です。。。何か良い方法、アドバイスお願いできないでしょうか?

補足日時:2005/04/19 15:06
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半径rで加工した円弧状の加工物があります。
その加工物の円周上の数点の位置測定データ(仮想原点からのX,Y座標)から
最小二乗法でその半径を計算したいのですが、Excelで計算できるでしょうか?

Aベストアンサー

できます.ソルバーを使います.

メニューの「ツール」の中に「ソルバー」がなければ,
まず,メニュー→「アドイン」で,ソルバーにチェックをつけて,OKをクリックし,指示に従って操作すると,ソルバーがインストールされます.その際,office等のCD-ROMが必要です.

さて,メニュー→「ツール」→「ソルバー」を選択すると,ダイアログが開きます.
・目的セル
・目標値(最大値,最小値,値)
・変化させるセル
などの項目があります.今はこのダイアログは閉じて,これにあったセルをまず用意しましょう.

例えば,
   A   B   C  D
1 dx  dy  r
2 0   0   1  ***
3 xi  yi
4 4   2   *  **
5 3   5
6 2   6
7 1   7

のようにします.(等幅フォントでご覧下さい.)
A2からC2はソルバーによって値が変化するので,適当な値を入力しておけばいいです.
データをA4,B4から順に下に向かって入力してください.
C4には,
=sqrt((C4-$A$2)^2+(B4-$B$2)^2)
D4には,
=(C4-$C$2)^2
とし,
C4をC7までコピー,
D4をD7までコピーしてください.
さらに,D2に
=SUM(D4:D7)
とします.もちろん,データ数が多い場合は,D7の7はもっと大きい値になります.

ここまで準備ができたら,あらためてソルバーを起動し,
・目的セルを「D2」
・目標値(最大値,最小値,値)を「最小値」
・変化させるセルを「A2:C2」
として,実行してください.

以上.

できます.ソルバーを使います.

メニューの「ツール」の中に「ソルバー」がなければ,
まず,メニュー→「アドイン」で,ソルバーにチェックをつけて,OKをクリックし,指示に従って操作すると,ソルバーがインストールされます.その際,office等のCD-ROMが必要です.

さて,メニュー→「ツール」→「ソルバー」を選択すると,ダイアログが開きます.
・目的セル
・目標値(最大値,最小値,値)
・変化させるセル
などの項目があります.今はこのダイアログは閉じて,これにあったセルをまず用意しまし...続きを読む

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宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

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確かにそうです。
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一部しかない例:
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Aベストアンサー

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とおきます。f(a)を計算すると、第2項、第3項はうまく消えます。そして、第1項は分母と分子がうまくキャンセルしてpが残ります。同様にf(b)=q,f(c)=rというわけです。2次より大きくてもよいなら解は無数にあります。また多項式に限らない場合もたくさんの解があります。が、いずれにせよ、有限個の与えられた点(ただしx座標はすべて異なるものとする)を通る曲線を単に求めよ、といわれれば、これが最も簡明な公式だと思いますよ。

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f(x)={p(x-b)(x-c)}/{(a-b)(a-c)}+{q(x-a)(x-c)}/{(b-a)(b-c)}+{r(x-a)(x-b)}/{(c-a)(c-b)}

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Q曲率の単位?

ある半円形状について、「曲率8R」という説明があったのですが、この記載だけから半円形状の半径(mm)がわかるでしょうか?

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Aベストアンサー

A#1です。
補足します。
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Q楕円の曲率について

楕円の曲率を計算してみたのですが、
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             あたり
の結果がでました。短径の端点が曲率最小とならなかったのが不思議です。
計算結果を検証する方法はないでしょうか。作図でも構いません。
URLのご提示でも構いません。

Aベストアンサー

質問者さんの結論は正しくないようですね。
以下で検証してみてください。
●楕円の任意点での作図法
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/daen,,,no,,,kyokuritsuhankei1.html

●曲率中心の軌跡を縮閉線(エボリュート)といい,縮閉線に対してもとの曲線(今の場合楕円)を伸開線(インボリュート)といいます.縮閉線の接線は伸開線の法線ですから,これら2曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります。曲率半径の逆数が曲率です。楕円の場合楕円の式は
  (x/a)^2+(y/b)^2=1…(1)
この縮閉線は次のようになります(参考URL)。
  (ax)^(2/3)+(by)^(2/3)=(a^2-b^2)^(2/3)…(2)
a,bに具体的な値を入れて2曲線を作図して(2)の法泉を引いて曲率半径を図れば確認できます。
楕円の曲率半径は計算で出ますよ。

2a=長径、2b=短径(a>b)、とすると、
x = acos(t), y = bsin(t), t:真円の場合の角度(rad単位)
曲率:k = ab / (a^2 sin(t)^2 + b^2 cos(t)^2)^(3/2)
曲率半径:R = 1 / k
で曲率半径:Rが計算できます。ここで、x = acos(t), y = bsin(t)
t=π/2(90度)のとき、k2=b/a^2(最小曲率)、R2=a^2/b(最大曲率半径)
t=0のとき、k1=a/b^2(最大曲率), R1=b^2/a(最小曲率半径)
t=π/4(45度)のとき、k4=ab(2√2)(a^2+b^2)^(-3/2), R4=(a^2+b^2)^(3/2)/{ab(2√2)}

となります。a=2,b=1の場合計算してみると
R2=4 ,k2=1/4=0.25,
R1=1/2=0.5 ,k1=2,
R4=(5/8)√10=1.9764…, k4=(4/25)√10=0.5059…
となります。

参考URL:http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/243_daen.htm

質問者さんの結論は正しくないようですね。
以下で検証してみてください。
●楕円の任意点での作図法
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/daen,,,no,,,kyokuritsuhankei1.html

●曲率中心の軌跡を縮閉線(エボリュート)といい,縮閉線に対してもとの曲線(今の場合楕円)を伸開線(インボリュート)といいます.縮閉線の接線は伸開線の法線ですから,これら2曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります。曲率半径の逆数が曲率です。楕円の場合楕円の式は
  (x/a)^2+(y/b)^2=1…(1)
この縮...続きを読む

Q曲線の曲率の計算について

曲線の曲率の計算における過程で、(1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)という計算なのですが、
結果はx/(x^2+1)^3/2となるらしいのですが、どう計算してこうなったのかわかりません。
ちなみにこれはf(x)=logxの曲率を求める過程ででてきたものです。

また、現状は曲率を求める公式に当てはめて値を求めているのですが、
曲率とはいったいなんなのかさっぱりわかりません。
インターネットで調べたところ曲率とは、ようするに物理などででてくる加速度みたいなもので
曲率半径は、ようするに円の半径のようですが、
なぜ加速度や半径と言わないで、わざわざ別の言葉で曲率という言葉を使うのでしょうか?

それから参考書をみてみると曲率の証明する過程で、
曲線r(t)=x(t)i+y(t)jの単位接線ベクトルはT=dr/dsで与えられる。
ここでs=∫√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dtは曲線の長さであると書かれているのですが、
なんのことを言っているのかわっぱりわかりません。
イメージが出来ない感じです。
r(t)=x(t)i+y(t)jのところは曲線上の位置を表しているのかなとなんとなく理解できますが、
単位接線ベクトルや曲線の長さであるというところがわかりません。

どなたか教えてください。
わかりやすい回答お待ちしております。

曲線の曲率の計算における過程で、(1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)という計算なのですが、
結果はx/(x^2+1)^3/2となるらしいのですが、どう計算してこうなったのかわかりません。
ちなみにこれはf(x)=logxの曲率を求める過程ででてきたものです。

また、現状は曲率を求める公式に当てはめて値を求めているのですが、
曲率とはいったいなんなのかさっぱりわかりません。
インターネットで調べたところ曲率とは、ようするに物理などででてくる加速度みたいなもので
曲率半径は、ようするに円の半径のようですが、
なぜ加...続きを読む

Aベストアンサー

>曲線の曲率の計算における過程で、(1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)という計算なのですが、
>結果はx/(x^2+1)^3/2となるらしいのですが、どう計算してこうなったのかわかりません。

 曲率についての説明は#1さん、#2さんが詳しく説明しておられますので、式変形だけ説明します。

 (1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)
=(1/x^2)×1/((1+(1/x^2))^3/2)
=1/{x^2*(1+1/x^2)^(3/2)}    ここまではすべての項を分母に移しただけです。
=x/{x^3*(1+1/x^2)^(3/2)}    ← 分母・分子にxを掛けます。
=x/[x^3*{(1+1/x^2)^3}^(1/2)]  ← ( )^(3/2)を { ( )^3 }^(1/2) に分けます。
=x/[{x^6*(1+1/x^2)^3}^(1/2)]   ← 分母のx^3 を{ }^(1/2) の中に入れます。
=x/[(x^2+x^2/x^2)^3}^(1/2)]  ← 分母のx^6 を ( )^3 の中に入れます。
=x/[{(x^2+1)^3}^(1/2)]
=x/(x^2+1)^(3/2)

 よろしければ参考にしてください。

>曲線の曲率の計算における過程で、(1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)という計算なのですが、
>結果はx/(x^2+1)^3/2となるらしいのですが、どう計算してこうなったのかわかりません。

 曲率についての説明は#1さん、#2さんが詳しく説明しておられますので、式変形だけ説明します。

 (1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)
=(1/x^2)×1/((1+(1/x^2))^3/2)
=1/{x^2*(1+1/x^2)^(3/2)}    ここまではすべての項を分母に移しただけです。
=x/{x^3*(1+1/x^2)^(3/2)}    ← 分母・分子にxを掛けます。
=x/[x^3*{(1+1/x^2)^...続きを読む

Q弧長パラメータとは何?

弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換することによって得られるそうですが、何故そうやって求められるのでしょうか?そもそも、弧長パラメータの概念が今一つ分からないです。

例えば、
x(t)=(asint,acost,bt)
の曲線があるとして、
これの長さ関数は
x'(t)=(acost,-bsint,0)より
int(0,t)||(x'(t))||dt
=int(0,t)sqrt(a^2+b^2)dt
=sqrt(a^2+b^2)t
より、t=x/sqrt(a^2+b^2)
ですから、x(t)の弧長パラメータ表示関数は、
x(s)=(asin(a/sqrt(a^2+b^2)),acos(s/sqrt(a^2+b^2)),
bs/sqrt(a^2+b^2))
となると解釈して宜しいのでしょうか?

分かる方がいましたら、回答宜しくお願いします。

Aベストアンサー

#1のKENZOUです。パソコンの調子がおかしくなり(←今もおかしいので古いのを使っている),レスが遅れました。

>長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
 r(t)=(x(t),y(t),z(t))
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと,それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
 dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
 s=∫[0,t]|dr/dt|dt
つまりsはtの関数となります(←当たり前か)。時間tと共に距離sは(途中で止まることが無ければ)単純に増加していきますので,sはtの単調増加関数ということになり,tをsの関数として書くことが可能ですね。この結果
 r=r(t)=r(s)=r(x(s),y(s),z(s))
と表すことができます。つまり曲線rをパラメータsを使って表すことになりますので,このsを孤長パラメータと呼んでいます。

>tの関数をsの関数に変換したといったことになるのでしょうか?
仰る通りと思います。

#1のKENZOUです。パソコンの調子がおかしくなり(←今もおかしいので古いのを使っている),レスが遅れました。

>長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
 r(t)=(x(t),y(t),z(t))
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと,それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
 dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
 s=∫[0,t]...続きを読む

Q道路のR値(カーブ半径)について教えてください。

こんにちは、
じつは道路のカーブをしらばてほしいといわれて
なんとかなるかな?とおもってやってみることにしたんだけど
どうにもならないので、こまっております。
まず、道路カーブのR(R40M)とか標識ありますよね?その
半径は道路の中央カーブラインなのかカーブの道路内側の半径なのか
わからないのです(たぶん道路中央での測定値だとおもうのですが)。
カーブの計算の方法なのですが、いろいろなソフトウェアを検索して
みましたがどうにもならないです。また実際に測量とかできないし
地図でおおよそ(10M単位くらいで)でないものかとおもって^^;
国土地理院の数値地図(1/25000)くらいならなんとか購入できない
こともないのですが、この数値地図を使用してでないものでしょうか?
またはGOO地図とかを利用してとか・・・・・
画像ソフトに国土地理院のフリーの地図のうえに円をかいたのもを
重ねてみたりしてみましたが、カーブの短いけど急カーブとかは
大きさをかえた円をどれを当てはめてもあってそうで結局は
わからないままです。やっぱりむりなことでしょうか?
宜しくお願いいたします。

こんにちは、
じつは道路のカーブをしらばてほしいといわれて
なんとかなるかな?とおもってやってみることにしたんだけど
どうにもならないので、こまっております。
まず、道路カーブのR(R40M)とか標識ありますよね?その
半径は道路の中央カーブラインなのかカーブの道路内側の半径なのか
わからないのです(たぶん道路中央での測定値だとおもうのですが)。
カーブの計算の方法なのですが、いろいろなソフトウェアを検索して
みましたがどうにもならないです。また実際に測量とかできないし
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Aベストアンサー

 #1です。

 クロソイドを図化する場合、図上では専用の定規を使います。ただし、恐ろしく高価ですし、最近はCADで作図する事を要求されるのでほとんど出番はありません。

http://www.smzkurasawa.com/1jougi5.htm
http://www.civiltec.co.jp/tools/toolclot.html

 CADの場合も一般的なソフトでは対応していませんが、擬似的な曲線を描く為のツールが結構出回っています。

 ちなみに、#2さんが云われている「回転半径」ですが、これは車両の方の諸元で、道路のことではないです。正確には、旋回中の車両の外側前輪の中心が描く軌道のことで、わかりやすく云うと外側のわだちになります。


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