代数の問題です。8次の置換について質問です。 (1 2 3 4 5 6 7 8)上段 (6 3 8

代数の問題です。8次の置換について質問です。
(1 2 3 4 5 6 7 8)上段
(6 3 8 5 7 1 4 2)下段
=σです。

(1)σ=τ^4をみたす7次の置換τが存在するかどうか理由をつけて答え、存在するならば全て求めよ。
(2)σ^3の位数ord(σ^3)を求めよ。

という問題がわからないので教えて頂きたいです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/09 10:52

(1)

(1,6)は奇置換
(2,3,8)は偶置換
(4,5,7)は偶置換
だから
σ=(1,6)(2,3,8)(4,5,7)
は(奇+偶+偶)=奇置換

τが奇置換のとき
τ^4
は(奇+奇+奇+奇)=偶置換

τが偶置換のとき
τ^4
は(偶+偶+偶+偶)=偶置換

奇置換σと偶置換τ^4が等しくなることはないから

σ=τ^4をみたす置換τは存在しない

(2)
σ=(1,6)(2,3,8)(4,5,7)
σ^3=(1,6)
(σ^3)^2=1
だから
位数ord(σ^3)=2

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/08 19:07

(1)

無い。
δ には固定元は無いが、
τ は7次の置換だから8元集合へ作用するとき固定元があり、
その元は τ^4 の固定元でもある。
よって σ と τ^4 は一致し得ない。
(2)
σ を { 1,2,3,4,5,6,7,8 } へ作用させて、各元の軌道を考えれば、
σ は巡回置換の積 σ = (1,6)(2,3,8)(4,5,7) と表される。
σ^3 = ( (1,6)(2,3,8)(4,5,7) )^3
　　= ( (1,6)^3 )( (2,3,8)^3 )( (4,5,7)^3 )
　　= ( (1,6) )( 単位置換 )( 単位置換 )
　　= (1,6)
より、 σ^3 の位数は 2.