変数置き換えにつきまして

y=sin^2θ　+ sinθ
の値域を求める問題で質問があります。

この時、t=sinθのように置換、ないし変数変換して解くのが一般的かとおもいますが、
y=t^2 + t, -1<=t<=1のように置換後の変数に条件がつくと思います。

これは、置換前はyだけの条件だったものが、置換後は、yと(置換で導入した)tの２つの文字の条件になってるということでよいでしょうか？

正確にはθが存在するためのyの条件が値域
と同値な条件(、あるいは定義そのもの)であり、これはyの条件で元々与えられるんけですが、tを導入することで、それがtとyの条件として同値になる。

このような理解でよいでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  y=f(t)=t^2+t t∈R
  t=g(t)=sinθ　θ∈R
  
  の合成関数f(g(x))
  を考えるとgによって、tの値域は、-1<=t<=1に制限されるので、これがfの元々の定義域t∈R(実数全体)に変わって、新しいfの定義域となる。結果として
  y=f(t)=t^2+t, -1<=t<=1を考えれば、それが
  y=f(g(θ)), θ∈R, つまり、y=sin^2θ+sinθ, θ∈R
  という元の置換前の題を考えた場合と同じになる(同じ値域が求まる)
  
  このように考えても良いのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/01 21:56

• 

  お返事ありがとうございます。
  
  この置換というのは、どういう数学的な構造を持つのだろう？と考えてました。
  
  単に同じ値域を持つ、必要条件しか満たさない変形を行ってるという理解になりますか？
  (求めたy=t^2+t,-1<=t<=1だけでは、代入した式t=sinθや、その定義域θ∈Rが消えてるので必要条件を満たした変形にすぎない。但し同じ値域を持つことは先の合成関数の考え方で分かるので、これを知る分にはこの必要条件の変形で差し支えない。)
  
  ちなみに、元に戻すには代入したt=sinθと、もう一つθ∈Rも残しておかないと同値にならない。
  
  このような理解でよいでしょうか？
  
  勉強になります。どうにか数学を理解したいです。よろしくお願いします。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/02 03:08

• なるほど。今回の場合、逆関数が存在する形(全射かつ単射)ではないから、y=f(x)と同値になるx=f^-1(y)が存在しないということですね？
  これまでと重複になるかもしれないのですが、
  元々は、y∈W
  ⇔ ∃θ∈R, y=sin^2θ+sinθ *1
  であるかと思います。W: 値域
  これをt=sinθという置換によって
  ∃t∈R, (-1<=t<=1　かつ　y=t^2+t) *2
  で求めている。
  つまり、yが存在するためのθの条件をyが存在するためのtの条件に書き換えてる
  
  *1, 2は同値ですよね？
  なぜ同値になるのか？　
  ⇒
  条件をみたすyに対して存在するθをθ1とすると、sinθ1自体も実数であり、かつ-1<=sinθ1<=1を満たす。この値をt1とすれば、当然
  -1<=t1<=1, かつ y=t1^2+t1も満たす。よってそのようなt1∈Rが存在するので*1⇒*2　続

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/02 08:25

• 

  <=
  *2が成り立つとき、条件を満たすyに対して存在tをt1とすれば、-1<=t1<=1 かつy=t1^2+t1が成立する。
  ここでこのようなt1に対して、t1=sinθを満たす実数θは少なくとも一つ存在する*3
  この内の一つをθ1とすると、
  t1=sinθ1 かつ
  y=t1^2+t1=sin^2θ1+sinθ1が成立する。
  よって
  y=sin^2θ1+sinθ1が成立するので
  ∃θ∈R, y=sin^2θ+sinθ　*1再　証明完了
  
  *3　θが存在するかどうかが問題なので、このt=sinθという、対応に逆が存在しないことは問題にならない。
  
  このように考えました。
  
  つまり、値域Wを示すyの条件として、*1, 2は同値なので、
  ∃t∈R, y=t^2+2 かつ -1<=t<=1 *2
  を満たすyの範囲を求めてる。このような理解になりました。
  
  ご意見願えないでしょうか？

    補足日時：2022/05/02 08:48

• 考えを深める参考になりました。ありがとうございます。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/03 07:35

No.6 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/05/02 21:05

質問を勘違いしてずれた回答をしてしまいました。

すいませんでした。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/02 11:21

＞この置換というのは、どういう数学的な構造を持つのだろう？

置換は 単に計算をやり易くするための物だと 思います。
問題に無い t を勝手に使う訳ですから、
最終的には 元に戻す必要が ある筈です。
戻した時点で 題意に適合しない部分があれば
その部分は 排除しなければなりませんね。

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/05/02 07:14

同値の部分についてですが、置換により同値でなくなるわけではありません。

置換によるものではなく、もとの関数によるものです。

t=sinθ
ｔはθの関数ですが、θはｔの関数ではありません。
（θを決めるとｔが１つ決まりますが、ｔを決めてもθは１つに決まりません）
よって、同値になりません。

y=t² + t
ｙはｔの関数ですが、ｔはｙの関数ではありません。
（ｔを決めるとｙが１つ決まりますが、ｙを決めてもｔは１つに決まりません）
よって、同値になりません。

y=ax+b (a≠0)
ｙはｘの関数であり、ｘもｙの関数です。[x=(y-b)/a]
よって、1次関数であれば、同値になります。

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/05/01 22:50

置換してもｙの値域は変わらないということは正しいですが、

同値の部分は誤りです。

t=sinθ
[θの範囲は実数全体 → -1≦t≦1] は成り立ちますが、
[ -1≦t≦1 → θの範囲は実数全体] は成り立ちません。
(反例) 0≦θ<2π
よって、同値ではありません。

y=t² + t
[-1≦t≦1 → -1/4≦y≦2] は成り立ちますが、
[-1/4≦y≦2 → -1≦t≦1] は成り立ちません。
(反例) -1/2≦t≦1
よって、同値ではありません。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/01 20:51

元々 θ の条件があって それによって sinθ の条件が 決まりますね。

2つの条件ではなく、sinθ の条件が t の条件に 変わっただけです。

現実には θ は全ての値を 取り得ます。
でも -1≦sinθ≦1 ですから、t=sinθ なら -1≦t≦1 です。

No.1 回答者： kacchann 回答日時： 2022/05/01 20:32

＞y=t^2 + t, -1<=t<=1のように置換後の変数に条件がつくと思います。

とりあえず、
ひとつ指摘しておきますと･･･
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置換前にも、
θに「前提条件」がついてます。
「θが実数全体を動くとき」、
という。

置換後はそれが、
「tが-1≦t≦1の範囲を動くとき」、
という前提条件に変わった。

それだけの話～。