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「四面体ABCDがある。互いにねじれの位置にある辺の中点を結ぶ3つの線分は同じ点で交わることを示せ。」
という問題があり、この正解答として掲載されている解法が理解できません。

その解法の流れは、
まずAB、CDの中点をP、Qとしたとき、PQの中点の位置ベクトルを求め、同様にその他のねじれの位置にある辺の中点を結ぶ辺の中点を求め、結果的にその中点は同じ位置ベクトル「($a+$b+$c+$d)/4」($はベクトル記号とする)であるから同じ点で交わる。

としていますが、僕にはPQの「中点」が交点だという推測ができません。
なぜ「交点」はねじれの位置にある辺の中点を結ぶそれぞれ辺の「中点」だと事前に推測できるのですか?
その点について整理したいです。お手数ですが、そのための助言などをしていただきたいです。
よろしくお願い致します。

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A 回答 (2件)

まず前半の方から: $p = $a+2$b-$c+$d は「点P の位置ベクトルは, 『点A の位置ベクトル』と『点B の位置ベクトルの 2倍』と『点C の位置ベクトルの -1倍』と『点D の位置ベクトル』を加えたものである」という意味です.


ここで問題: もともと $p = $a+2$b-$c+$d で表される位置ベクトルは, 「2点 A, B の名前を付け替える」操作によってどのように表されるでしょうか?
(置き換えたあとの位置ベクトルをプライムで区別することにすると) $a' = $b, $b' = $a なので $p' = $b'+2$a'-$c'+$d' でしょうか? それとも (付け替えても「点A」は「点A」なので上の「」を使って) $p' = $a'+2$b'-$c'+$d' でしょうか?
このように, 対称でない式で表される位置ベクトルでは「点の名前の付け替え」によって違う値になってしまいます. ところが, 今の問題ではそれはありえないので 4ベクトルに関して対称な式だけを考えればいいということになります.
で後半ですが, これは「求める点の (点A からの) 相対的な位置が 3点 B, C, D の (点A からの) 相対的な位置だけで決まる」という条件から容易に得られます. つまり求める点の位置ベクトルを $p とおくと $p-$a = f($b-$a, $c-$a, $d-$a) (f は 1次式) と表される必要があり, このことから $p について解いた式における 4ベクトルの係数の和は 1 です.
あと本当は「定ベクトル項」がないことも言わなきゃならないんだけどこれは「1点」という特殊な場合から明らか.

この回答への補足

まずお詫び申し上げます。
返事が遅れて、大変申し訳ございません。

>まず前半の方から: $p = $a+2$b-$c+$d は「点P の位置ベクトルは, 『点A の位置ベクトル』と『点B の位置ベクトルの 2倍』と『点C の位置ベクトルの -1倍』と『点D の位置ベクトル』を加えたものである」という意味です.

はい。

>ここで問題: もともと $p = $a+2$b-$c+$d で表される位置ベクトルは, 「2点 A, B の名前を付け替える」操作によってどのように表されるでしょうか?
>(置き換えたあとの位置ベクトルをプライムで区別することにすると) $a' = $b, $b' = $a なので $p' = $b'+2$a'-$c'+$d' でしょうか? それとも (付け替えても「点A」は「点A」なので上の「」を使って) $p' = $a'+2$b'-$c'+$d' でしょうか?

$p' = $b'+2$a'-$c'+$d' だと思います。「点A」は「点A」なので というのは、「」の表現は置換前に定義したものであるため、置換後も「」の表現は置換前の位置のみを表わし、置換後も同じ位置を表現するには「$p' = $b'+2$a'-$c'+$d'」のように再定義しなければならないと思います。

>このように, 対称でない式で表される位置ベクトルでは「点の名前の付け替え」によって違う値になってしまいます. ところが, 今の問題ではそれはありえないので 4ベクトルに関して対称な式だけを考えればいいということになります.

なぜ、今の問題ではそれは「ありえない」のでしょうか。
確認しますが、「点の付け替え」というのは、点そのものの位置を変えているという認識で一貫して返答しているのですが、正しいでしょうか?(つまり、置換前と後では図形の形が違う。置換前のABCDと、置換後のBACDは同じ四面体だが、置換後のABCDとは違う。)
僕は今のところこの部分の解釈で間違っている理由がほとんど分からないです。

>これは「求める点の (点A からの) 相対的な位置が 3点 B, C, D の (点A からの) 相対的な位置だけで決まる」という条件から容易に得られます. つまり求める点の位置ベクトルを $p とおくと $p-$a = f($b-$a, $c-$a, $d-$a) (f は 1次式) と表される必要があり, このことから $p について解いた式における 4ベクトルの係数の和は 1 です.

「求める点の (点A からの) 相対的な位置が 3点 B, C, D の (点A からの) 相対的な位置だけで決まる」というのは理解できました。$p-$a = f($b-$a, $c-$a, $d-$a) (f は 1次式) というのは、対称式であると理解できれば、納得できます。(fでくくってるのは「求める点」は「任意の点」ではなく、「対称式で書ける点」という前提ですよね・・・?(確認))
少しずつですけど整理されてるはずです。「$p-$a = f($b-$a, $c-$a, $d-$a)」が分かり易かったです。

補足日時:2008/08/15 22:36
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交わることを前提にすると, 交点の位置ベクトルは四面体の 4頂点の位置ベクトル $a, $b, $c, $d の対称式にならなきゃいけません. なぜなら, 対称式じゃないと「同じ四面体であるにもかかわらず頂点の名前の付け方によって位置が異なる」という謎の現象が起きてしまうからです. また, 四面体を平行移動させると交点も (同じだけ) 平行に移動しますが, これは係数の和が 1 であることを意味します. つまり, ここまでで*交わることが前提*だと交点は ($a + $b + $c + $d)/4 でなければなりません.


まあ, これは交わることが前提なんだけど, 計算が繁雑になる可能性はともかくその前提を無視しても解くことができます. まず AB/CD と AC/BD ペアで交点を求め (交点が求まらなければこの時点で「交わらない」としてよい), その交点を残りの AD/BC ペアが通ることを示せばいいです.

この回答への補足

交点が($a + $b + $c + $d)/4 でなければならないとき、交点はPQを1:1で内分する点として扱わなければ、交点の位置ベクトルが($a + $b + $c + $d)/4になることが無いというのは理解しました。

$p=($a+$b)/2, $q=($c+$d)/2
$PQをs:tに内分する点が交点としたとき
交点=($a+$b+$c+$d)/4
={t*($a+$b)/2+s*($c+$d)/2}/(s+t)
このとき、s=1,t=1のとき等式は成り立つ
s:t=1:1
∴PQの中点は交点

交点が ($a + $b + $c + $d)/4 になる理由に納得したとき、「中点と推測できる理由」は理解できたことになると思います。(ここまで合ってますか・・・?)
しかし、($a + $b + $c + $d)/4 になる理由はまだ納得できていません。

>交わることを前提にすると, 交点の位置ベクトルは四面体の 4頂点の位置ベクトル $a, $b, $c, $d の対称式にならなきゃいけません. なぜなら, 対称式じゃないと「同じ四面体であるにもかかわらず頂点の名前の付け方によって位置が異なる」という謎の現象が起きてしまうからです.

ある点の位置ベクトルが($a+2$b-$c+$d)のとき、頂点AとBを交換したら($b+2$a-$c+$d)のようになり、位置が異なることは無いと思いました。交換前の$aと交換後の$bは同じなので、位置の表記方法は異なることになりますが、「位置が異なる」ということにはならないと思います。
ここで、ある点を交点とした時も同様で、「頂点の名前の付け方によって交点の位置が異なってしまう」という説明を理解することができません。

>また, 四面体を平行移動させると交点も (同じだけ) 平行に移動しますが, これは係数の和が 1 であることを意味します.

四面体をある方向に平行移動した時、頂点と交点が移動する距離が同じなのは理解できますが、それと係数の和が1になることとの関係が理解できません。

せっかく返信してくださったのに、理解できなくて悲しいです。
もしよろしければ補足お願いします。

補足日時:2008/08/11 19:58
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