正八角形のベクトル

点Ｏを中心とする円に内接する正八角系ＡＢＣＤＥＦＧＨにおいて
ベクトルＯＣをベクトルＯＡとベクトルＯＢを使ってあらわせ。
という問題がありました。
解説では、
「図のように二等辺三角形を利用して考えるとわかりやすい」という解説があり、
ＡＯ、ＢＨの交点をＭとすると
ベクトルＯＣ＝√２ベクトルＭＢ
＝√２（ベクトルＯＢ－１/√２ベクトルＯＡ）
＝－ＯＡ＋√２ベクトルＯＢ・・・・答え

という流れだったのですが、そもそも、図添図のような二等辺三角形が作られる
のかがわかりません。
三角形ＢＭＯが二等辺三角系とわかるのは、
（ＡＯ、ＢＨの交点をＭとすると）
角ＯＭＢが９０度で、角ＭＯＢが３６０÷８＝４５度で
残りの角ＭＢＯも４５度だからですか？

また、辺ＢＥとＣ、Ｄから降ろした垂線とでつくる三角形が（それぞれの交点を
Ｉ、Ｊとします）
二等辺三角形なのはなぜでしょう？
例えば三角形ＢＩＣに注目するとすると、角ＢＩＣは９０度っていうのはわかります。
もしかして、角ＩＣＤが９０度で、８角系の角度は１３５度なので、
角ＢＣＩ＝１３５－９０＝４５度。残りの角ＣＢいも４５度ってことでしょうか？

ベクトルＯＣ＝√２ベクトルＭＢ
＝√２（ベクトルＯＢ－１/√２ベクトルＯＡ）
＝－ＯＡ＋√２ベクトルＯＢ
までの解答の流れなんですが。。。。

ベクトルＯＣ＝√２ベクトルＭＢ
への変形がイマイチわからないのですが、もしかして
辺ＢＭと辺ＣＯは平行で、
辺ＯＣ＝ＯＢなので、
ベクトルＯＣ：ベクトルＭＢ＝辺ＯＢ：辺ＭＢ＝√２：１
よって、ベクトルＯＣ＝√２ベクトルＭＢってことですか？

また、ベクトルＯＣ＝√２ベクトルＭＢ
＝√２（ベクトルＯＢ－１/√２ベクトルＯＡ）の過程なのですが、
ベクトルＭＢ＝ベクトルＯＢ－ベクトルＯＭ
まではわかるのですが、そこからなぜベクトルＯＢ－１/√２ベクトルＯＡ
になるのかがわかりません。
ベクトルＯＭが１/√２ベクトルＯＡに変形したと思うのですが、
辺ＯＡ＝辺ＯＢなので
ベクトルＯＭ：ベクトルＯＡ＝辺ＯＭ：辺ＯＡ＝１：√２
よてベクトルＯＭ＝１/√２ベクトルＯＡ
よってベクトルＭＢ＝ベクトルＯＢ－ベクトルＯＭ＝ベクトルＯＢ－１/√２ベクトルＯＡということでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： tomokoich 回答日時： 2011/04/15 18:42

すべて書かれている通りで考え方は正しいと思います

ようは二等辺三角形の辺の比が1:1:√2になるのでそれを使っているということです

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。
すっかりお礼をしたつもりになっていました。。。


内容正しくて安心しました。
。ありがとうございました。

お礼日時：2011/07/07 17:51

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/04/15 18:02

ざっと流し読みした感じではすべてその通り.

でも, ちょっと考えれば
OA+OC=√2OB
が簡単に出そうな気がする....

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。。。。T_T
すっかりお礼をしたつもりになっていました。。。
申し訳ないです。。。
でも、おかげで解決できました。ありがとうございました。

お礼日時：2011/07/07 17:51