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|a|=2, |b|=3, a・b= -3 のとき
|a+b|= √7 になるのですが
なぜ√7になるのでしょうか?

あまり私はベクトルを理解できなくて
てっきり答えは"5"だと思っていたのです。
な、なぜなんでしょうか…


また、同じような問題だと思うのですが
「2つのベクトルa,bが共に単位ベクトルで、
それらの作る角が60°であるとき、
2つのベクトルa+bとa-2bが作る角を求めろ」
っていう問題なのですが

単位ベクトルだから
a=1 、b=1 ってことですよね…

そこから進展できないんです…
教えていただけませんか?

A 回答 (6件)

(a+b)(a+b)= |a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2abとなります。


ここで、|a| = 2 , |b| = 3 ab =-3より、これらを上式に代入して計算すると、|a+b|^2 = 4 + 9 - 6 = 7
|a+b|=√7になります。
一般に、|a+b|=|a|+|b|にはなりませんので、注意して下さい。
これが成立するときはab=0、すなわち2つのベクトルの内積が0の時です。ちなみにこのとき、2つのベクトルは互いに直交します。

「2つのベクトルa,bが共に単位ベクトルで、
それらの作る角が60°であるとき、
2つのベクトルa+bとa-2bが作る角を求めろ」

|a|=1 |b|=1
ab=|a||b|cos60 = 1/2
となります。

ここで、(a+b)(a-2b)=|a+b||a-2b|cosx = |a|^2-ab-2|b|^2が成立し、
|a+b|^2 =(a+b)^2 = |a|^2 + 2ab + |b|^2 = 3
|a+b| = √3
|a-2b||a-2b|=(a-2b)^2 =|a|^2 -4ab + 4|b|^2 = 3
|a-2b| = √3
より、上の式にこれらを代入して解くと、cosx = - 1/2となる事から、
x = 120になります。

後、以下の公式はよく使われるので、ぜひ覚えておいて下さい。

(1) |a| = √(a×a)
(2) ab = |a||b|cosx
(3) (a+b)(d+e) = ad+ae+bd+be(ad,ae,bd,beはそれぞれ内積です)
  特に、(a+b)(a+b)の場合は、aa+2ab+bbより、|a|^2+2ab+|b|^2になる  事は覚えておいた方が良いと思います。

この問題を解くにおいても(1)~(3)の公式?を自由自在に使いこなせなければ解く事が困難になってしまいます…。
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この回答へのお礼

ことこまかに
ほんとありがとうございます!
おかげで多少理解できました!

ありがとうございました!

お礼日時:2007/03/19 09:03

ベクトルと通常の数値(スカラー)との感覚がまだはっきりつかめていないご様子ですので、その点について。



通常の(中学校までにならっていたような)x=3やy=2というのは言ってみれば長さみたいなものなので、x+y=5と計算できます。
ベクトルはそう単純には計算できないですので(向きもあるため)x+yといっても数値を足せばよいというものではありません。
それ以前にベクトルaには5とか8とか数値もありません。あるのは向きと長さだけですので、ベクトルaの長さが3、向きは北向きとか、その程度の情報しかありません。

だから、ベクトルaの長さが2、ベクトルbの長さが3といっても、aとbの向きが同じ向きを向いてなければ、a+bの長さも5にはなりません。

そこで、ベクトルの計算できる方法というのがあり、それはほかの方々の回答にお任せします。

ちなみに2つのベクトルは普通、向きがばらばらのため、その2つのベクトルの向きの間が「ベクトルで作る角度」というものです。

↑と→というベクトルがあれば、2つのベクトルの作る角は90度です。(ベクトルは向きと長さを変えなければ自由に動かすことはできるので、矢印のお尻をくっつければおわかりかと。)

この角度を求めるときは、内積を使うことで計算できます。
単位ベクトルはおっしゃるとおり長さが1のベクトルなのですが、この時点ではベクトルaの向きについては一切触れられていません。
|a|=1、という情報しかわからないので、
ベクトルどおしの角度を求める=2つのベクトルの内積を計算する、と考えてください。
ちなみにベクトルa+bというのも、ひとつのベクトルです。

わかりづらくてすみません。
感覚だけでもつかんでもらえれば、と思います。
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この回答へのお礼

なるほど!わかりました!

お礼日時:2007/03/19 09:01

ベクトルといってるのですから必ず図を書いて下さい。


数式だけでやろうとしてもイメージが取れません。数学が得意であれば数式でだけでも出来るかもしれません。その場合でも頭の中には図のイメージがあるはずです。
後の問題からやります。
長さが1の2つの矢印で角度が60°という条件ですから書きやすいですね。
a+bという足し算の規則は習っていますね。平行四辺形で対角線を求めるのでも継ぎ足しのやり方でも同じです。
ー2bはどうですか。向きを反対にして2倍したものです。これとaを足したものがa+(-2b)です。
まずイメージを取ってから丁寧に作図します。
作図が出来たら幾何的な関係から角度が決まります。

はじめの問題は角度が与えられていません。a・b=-3と内積という表現になっています。でも長さが2のベクトルと3のベクトルを掛けて-3となっているのですから同じ向きを向いているのではないということは分かるのではないですか。あなたが足して5という値を出しているのはここでもうつまずいているのです。でも図を書くとそうではないというのはすぐに分かることではないでしょうか。
内積と角度の関係は教科書を見て下さい。
a・b(aとbの内積)=(aの大きさ)・(bの大きさ)×cosθ
θはaとbの間の角度です。これでcosθが決まります。
図を書くことが出来ますね。後は幾何的に求めて下さい。
cosθ<0の時はθ>90°に注意して下さい。
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この回答へのお礼

あーそうかそうか…

文章読んでだいぶ分かるようになりました。
ありがとうございます!

お礼日時:2007/03/19 09:02

ベクトルについて 文章で説明するのはなかなか難しいです。



とりあえず、下のサイトをご覧ください。

あせらずに、ぼちぼちと勉強してください!

参考URL:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/dot_produ …
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この回答へのお礼

お気に入りに追加しました!

お礼日時:2007/03/19 09:04

こんにちは


|a|=2, |b|=3, a・b= -3 のとき
|a+b|= √7 になるのですが
なぜ√7になるのでしょうか?

|a+b|^2= 7
|a|^2+2ab+|b|^2=7
と展開でき
|a|^2=4
|b|^2=9
から|a+b|= √7
になります。

a+bとa-2b

a+b内積a-2b=|a+b|・|a-2b|*COSθ
a内積b=|a|・|b|COS60
これを展開すればよいです。
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この回答へのお礼

なるほど!
展開してみます!

お礼日時:2007/03/19 09:05

>なぜ√7になるのでしょうか?


余弦定理によって計算して下さい。

>a=1 、b=1 ってことですよね…
|a|=1、|b|=1ってことです。
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