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xをベクトルだとして、
  d|x|/dx=x/|x|
という方向微分?の式が成立する理由が分かりません。
どなたか証明お願いします。

A 回答 (5件)

方向微分 というのは特定方向のスカラー場の変化率のこと



スカラー場を f とすると

df/dx=grad f

これは普通「勾配」と呼びますが、「方向微分」とは
特定方向でのスカラー場の変化率を表すので

方向を表す単位ベクトルを u とすると

方向微分 = grad f・u

u は f とは無関係に決められます。
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df/dx=gradf=(∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)



f=√(x^2+y^2+z^2)

後は機械的に微分するだけです。

この回答への補足

方向微分係数の定義が
df/dx=gradf*x (xは単位ベクトル)
で与えられているようで、df/dx=gradfで良いのか疑問が残ります…。
方向微分係数と考えるのがそもそもの間違いなのかもしれませんが…。

補足日時:2014/02/11 11:59
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>xをベクトルだとして、…


  ↓
x=Xi (i は x 方向の単位ベクトル) として、
 X>0 → d|x|/dx=1=X/|X| (>0)
 X<0 → d|x|/dx=-1=X/|X| (<0)
…じゃ、アアキマへん?

  

この回答への補足

単位ベクトルの係数はベクトルの長さであって、常にX>0になりそうな感じがします。
加えて、X>0の時に|x|=xと考えてるのだと思うのですが、スカラー=ベクトルというのは個人的に違和感が残ります…。すみません。

補足日時:2014/02/11 11:55
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>xをベクトルだとして、


  d|x|/dx=x/|x|

rを位置ベクトルだとして、
  ∂|r|/∂x=x/|r|

のことではありませんか?
|r|=√(x^2+y^2)
と置いて微分すれば出てきます。

この回答への補足

それとはまた違った話だと思います…。

補足日時:2014/02/11 11:48
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「ベクトルで微分」とは, どういう意味ですか?

この回答への補足

方向微分係数で登場するようです(私が見たのは物理の問題でです)。
「ベクトルで微分」というのは語弊があったかもしれません。
失礼しました。

補足日時:2014/02/11 11:46
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