
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>>An.2様:有名な事実です。
OH=OA+OB+OC
より、
AH=OB+OC
だから、
AH・BC=(OB+OC)・(OC-OB)=|OC|^2-|OB|^2=0
です。なぜならOは外接円の中心だから。
さて質問者様、この回答をよく読むと、AをBに、BをCに、CをAに変えることによってまったく同じ計算をして
BH・CA=0
を証明できます。さらにAをBに、BをCに、CをAに変えて
CH・AB=0
です。したがって実質ひとつさえ証明できれば、あとは“同様に”と書いて論証を省略することが可能です。
ではやや略証で済ましてよいとしても、それでも3つ示さないといけないかというと、これはAn.1様もご指摘されているとおり、垂心の定義の問題なのです。垂心が三角形の各頂点から下ろした3垂線の交点である、ということならば、やはり3つとも示さないと垂心であることにはなりません。
ところが、実は垂心というのは、適当にとった2垂線の交点でもあるので、こちらが定義だとすると、2つの証明で十分なんです。というわけで結論ですが、2つの証明で実は足りているのだけれど、3つ書いておく方が無難だ、ということです。3つ書いて×になることはないが、2つだと意地の悪い先生なら、やや証明不十分といって減点する可能性があります。
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