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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
a+2b=p
2a+b=q
とおくと,
(1)|p|=|q|=1(p,qのなす角をθとする)
このとき
a-3b=sp+tq=s(a+2b)+t(2a+b)=(s+2t)a+(2s+t)b
を満たす実数s,tを見つける.それは
s+2t=1,2s+t=-3
とすればよい.これを解くと,s=-7/3,t=5/3となる.ゆえに
a-3b=(-7p+5q)/3
∴|a-3b|^2=(1/9)(49|p|^2-70p・q+25|q|^2)
(1)より,
|a-3b|^2=(1/9)(49-70cosθ+25)=(1/9)(74-70cosθ)
|a-3b|=(1/3)√(74-70cosθ)
-1≦cosθ≦1よりこの上限は(1/3)√(144)=12/3=4.
さてθ=πとなりうるか.もしこうなるならp,qすなわちa+2b,2a+bは逆ベクトルで
a+2b=-(2a+b),a=-b
つまりa,bも逆ベクトルである.このときp=-a,q=aであり,a,bが互いに逆向きの大きさ1のベクトルになる.実際このとき,a-3b=4aの大きさは|4a|=4|a|=4となる.
したがって|a-3b|が最大になるのは,a,bが大きさ1の互いに逆ベクトルのときで,最大値は4である.
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