扇型の 一部に置ける、重心について。

お世話になります。


以下　添付映像において、

扇形の　一部の、
(斜線部)

重心位置　ｒの、
求め方を、
お教えください。


どうぞ　宜しく、
お願い　致します。

質問者からの補足コメント

• あぁ　ですよね、
  
  荷重平均なのですから、
  均等に　二分する
  任意　二直線の、
  交点を　求めれば、
  いいのですね。
  
  
  判った気が　します。

    補足日時：2019/01/24 22:59

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/24 22:14

まず、道具立てを調えましょうか。

扇型の中心をO、弧をAB、Aから直線OBへ降ろした
垂線の足をHとします。また、ρ=OA, θ=∠AOB と置きます。
与えられた長さとの関係は、h=ρsinθ, L=ρ-ρcosθ です。
あともうひとつ、O を原点、B を x 軸正方向とする
直交座標系もとっておきましょう。

問題の図形HAB(三角形ではありません)の重心を G、面積を S、
△OAHの重心を G1、面積を S1、
扇型OABの重心を G2、面積を S2 と置くと、
G2 は G,G1 の重み S,S1 の荷重平均ですから、
ベクトルOG2 = {S/(S+S1)}ベクトルOG + {S1/(S+S1)}ベクトルOG1
です。S2 = S+S1 なので、
ベクトルOG = {S2/(S2-S1)}ベクトルOG2 - {S1/(S2-S1)}ベクトルOG1
と書けます。求めたい r は、G の y 座標です。

△OAHについて...
ベクトルOG1 = (1/3){ベクトルOO + ベクトルOA + ベクトルOH}
= (1/3){(0,0) + (ρcosθ,ρsinθ) + (ρcosθ,0)}
= ((2/3)ρcosθ,(1/3)ρsinθ),

S1 = (1/2)OH・AH
= (1/2)(ρcosθ)(ρsinθ).

扇型OABについて...
S2 = (πρ^2)(θ/2π) = (1/2)θρ^2.

G2 は ∠AOB の二等分線上にあるので、
G2 の原点からの距離を δ と置いて
ベクトルOG2 = (δcos(θ/2),δsin(θ/2)) と書けます。
O を頂点とし G2 を底辺の中点とする二等辺三角形が
扇型の半分になるように、(1/2)δ(2δtan(θ/2)) = (1/2)S2.
よって、δ = √(S2/2tan(θ/2)) = (ρ/2)√(θ/tan(θ/2)).

以上より、
r = {S2/(S2-S1)}(G2のy座標) - {S1/(S2-S1)}(G1のy座標)
= ρ{κ(1/4){√(2θsinθ) + (1-κ)(1/3)sinθ)}
ただし κ = θ/(θ-cosθsinθ)　←[*]
と計算できます。

最初の条件から
ρ = (h^2+L^2)/(2L),
cosθ = (h^2-L^2)/(h^2+L^2),
sinθ = 2h^2L^2/(h^2+L^2)
と計算できますが、
[*]式中の θ は θ = (tan^-1)(2h^2L^2/(h^2-L^2))
とでもする他ないので、これ以上簡単な式にはなりません。
あとは、数値計算ですかね。

この回答へのお礼

有難うございます。


計算其の物は、
CADに　させますので、
此で　助かります。

お礼日時：2019/01/24 22:55

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/25 01:29

あれ？ 何が nouble1 さんの気に障ったのかな。

意外です。
近似値という言葉が CAD への侮蔑ととられたのでしょうか？
数学的な答えだって、近似値ですよ。tan^-1 を代数的に計算
する方法が無い以上、最後は近似計算にならざるを得ない。
No.1 で「あとは、数値計算」と書いたのは、そういう意味です。

重心を求めるのに回転モーメントを考慮する理由は、
寡聞にして私には解りません。
回転モーメントが出てくるのは重心が求まった後のような
気がしますが、違うんでしょうか？

追加の御質問については、恐縮ですが、
日本語の文意が読み取れません。
今回はパスとさせてください。

この回答へのお礼

判りました、
有難うございます。


もしかしたら、
書きかけの方が、
居られるかも　知れませんので、

締め切るまでに、
暫し　ご猶予を、
頂いても、
構いませんか？

お礼日時：2019/01/25 01:36

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/24 23:56

カテゴリーがら、数学で何とかする方法を考えてしまいますからね。

面積を二等分する２直線の交点としてCADに近似値を計算させるなら、
Aを通る二等分線とHを通る二等分線が使えそうですね。

この回答へのお礼

あぁ、
回転モーメントを　加味しない分、
近似値になる、

そう言う事ですな？


別に、
「CADだから　精度不要、」
では　ないですよ？


そんなつもりを、
含んだ　発言ではなく、

計算に対する　気遣いを、
頂戴したので、

心遣いと　して、
労の　無さを、
示しただけの　つもりでして、

他意は　なかったのですが、

とは言え、
お気に　障ったら、
謝罪しますね、

済みません。


では、
こう言うのは　いけますか？

お伺いしていて、
やっと　辿り着いたのですが、

いずれも、
回転モーメントを　加味する、
必要の　無い、
単純図形　限定ですが、

仮定を　お借りして、
斜線図形面積Sを、二等分する、
新たな　垂線位置を、
求める、

此の時の　図形左側を、
Tと　仮称すると、

Tの　円弧円周角を、
斜線図形　最上端から、
下方に　取った時の、
円弧最下端と　点Oの、
交点上、

此と、
Tの　円垂線との、
交点に、
重心が　来る。


後、
視点を　変えて、
斜線図形を　上下２等分する、
仮線を　考えた時、
此の仮線と　重心は、
重なるので、

此の仮線と　下線との、
距離が　rである。


如何ですか？

お礼日時：2019/01/25 01:07