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ベクトル u=(1,-2,1) , v=(2,3,1) について、

ベクトル (a,b,c) がuとvの1次結合で表されるときa,b,cの関係を求めよ。


この問題の解答は、点P(a,b,c) が3点O(0,0,0), A(1,-2,-1), B(2,3,1)を通る平面上にあれば良いことを用いて、解を a-3b+7c=0としているのですが、

何故原点O(0,0,0)を通るとしてよいのですか?ベクトルuとvの始点がどこかは分からないので、原点を通るかどうかは分からないのではないですか?


ご教授お願い致します。

質問者からの補足コメント

  • 問題文を書き間違えていました。

    正しくはu(1,-2,-1)です。

    申し訳ございません。

      補足日時:2023/06/19 17:18

A 回答 (6件)

>例えば平面が(1,1,1)を通るとすると、


>解はa-3b+7c=5 と変わってしまうのですが、
>これは正しいのでしょうか?

正しくないです。1次結合という条件と合わないです。
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この回答へのお礼

1次結合についてよく理解できていませんでした。
分かりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時:2023/06/20 15:51

u,v の一次結合全体がなす集合は、R^3 の部分線型空間であって、


それを位置ベクトルとする点の集合は O, A,B を通る平面になります。
単に、u,v が張る線型空間には零元があるというだけの話です。
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この回答へのお礼

私の理解が足りていませんでした。
分かりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時:2023/06/20 15:59

>点P(a,b,c) が3点O(0,0,0), A(1,-2,-1), B(2,3,1)を


>通る平面上にあれば良いことを用いて、

ここですでにベクトルが位置ベクトルと仮定してるのに
ベクトルに始点がないとか言い出すのはナンセンス。

位置ベクトルでないなら点とか平面とか原点とか言うのは
やめましょう。

またそういう仮定は不要で、

(a, b, c) =t(1,-2,-1) + u(2,3,1)

で t = u = 0 なら (a, b, c) = (0, 0, 0)
で a=b=c = 0 になりうることは明らかだし

上の式から
a = t + 2u
b = -2t + 3u
c = -t + u

から
3(2a+b) - 7(a+c) =0
→ -a + 3b - 7c = 0

と簡単に求まります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

例えば平面が(1,1,1)を通るとすると、解はa-3b+7c=5 と変わってしまうのですが、これは正しいのでしょうか?

お礼日時:2023/06/20 14:57

> ベクトルuとvの始点



とおっしゃるのは、「力を矢印で表したときの始点(力の作用点)」の話をなさっているんだと思います。が、それはちょっと違う。

 ベクトルは「大きさと向き」を持つ量です。そして、ベクトルに「始点」なんてものは、そもそもありません。

 もちろん、ベクトル (a,b,c) を「始点のある矢印」で図示しても良いです。「矢印の始点」が原点にあり、「矢印の先端」は座標(x,y,z) = (a,b,c)にある、そういう矢印を描くわけです。このようにすると、座標の値はそれ自体でベクトルとして扱うことができる。このことを特に強調するために、ベクトル (a,b,c)を「位置ベクトル (a,b,c)」と呼ぶ場合もあります。
 さて、こうして描いた矢印を平行移動しても、それが表すのは同じベクトルのままです。たとえば、「矢印の始点」が座標(x,y,z) = (p,q,r)に来るように矢印を平行移動すると、「矢印の先端」は座標(x,y,z) = (a+p,b+q,c+r)になる。でもこの矢印が表すベクトルは (a,b,c)のままです。このとき、
  (「矢印の先端」の座標の位置ベクトル(a+p,b+q,c+r)) = (「矢印の始点」の位置ベクトル(p,q,r)) + (a,b,c)
になっている。書き換えれば
  (a,b,c) = (「矢印の先端」の座標の位置ベクトル(a+p,b+q,c+r))- (「矢印の始点」の位置ベクトル(p,q,r))
ですね。

 というわけで、「ベクトルuとvの始点」という概念には意味がない。そして、ご質問の問題にあるベクトルuとvはどちらも「位置ベクトル」です。もちろん、これらを矢印で描きたいのなら、それぞれ原点と座標uを結ぶ矢印と、原点と座標vを結ぶ矢印(あるいはそれらを自由に平行移動したもの)ということです。

 が、そんなことやっても意味がありません。もう矢印のイメージから離れた方がいい。すなわち、ベクトルを
    (a,b,c) + (p, q, r) = (a+p, b+q, c+r)
    k (a,b,c) = (ka, kb, kc)
  という規則に従う対象
として抽象的に捉え直さないと、この先、勉強を進めるにつれてますますワケワカンナくなるに違いない。

 じゃあ、「力を矢印で表したときの始点(力の作用点)」はどうなるんだ、とお考えになるでしょう。その矢印は、力の作用点の位置ベクトル (x,y,z)と、力のベクトル(s,t,u)の両方を図示しているんです。位置ベクトルの成分xの単位は[m](メートル)で、力のベクトルの成分sの単位は[N](ニュートン)だから、そもそも足したり引いたりすらもできない、いわば全く別種の対象です。その両者をごっちゃに描いた矢印は、「ナントナク分かった」という気にさせるための便方だけれども、それを理解しないまま直感や類推だけに頼って使っていると、いろんな誤解の元にもなる。要注意です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なんとなくわかった気がするのですが、今回の問題ですとやはり平行移動分のズレが気になってしまいます。

例えば、平面が(1,1,1)を通るとすると、A(2,-1,0), B(3,4,2)となり、解は a-3b+7c=5となります。

右辺が0から5に変わったことが 平行移動を表しているのだと思いますが、この変化は考慮する必要はないということでしょうか?解が変わるということはそれを満たす(a,b,c)も変わってしまい、違和感があります。

ご教授お願い致します。

お礼日時:2023/06/19 17:16

u=(1,-2,1)


ならば
A(1,-2,-1)ではなく
A(1,-2,1)
だから
a-3b+7c=0ではなく
5a-b-7c=0
になります

ベクトル u=(1,-2,1) , v=(2,3,1) について、
ベクトル (a,b,c) がuとvの1次結合で表されるとき
(a,b,c)=xu+yv
(a,b,c)=x(1,-2,1)+y(2,3,1)
(a,b,c)=(x,-2x,x)+(2y,3y,y)
(a,b,c)=(x+2y,-2x+3y,x+y)

a=x+2y…(1)
b=-2x+3y…(2)
c=x+y…(3)

-3b=6x-9y
7c=7x+7y

2c-a=x
3c-b=5x

(1)-(3)から
a-c=y…(4)

(3)の両辺に2をかけると
2c=2x+2y
↓これと(2)を加えると
b+2c=5y
↓これに(4)を代入すると
b+2c=5(a-c)
b+2c=5a-5c
↓両辺に-b-2cを加えると
0=5a-b-7c

5a-b-7c=0
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おっしゃる通り、ベクトルuとvの始点が与えられていないため、原点O(0,0,0)を通る平面と仮定することは適切ではありません。

この問題では、ベクトルuとvの始点は不明ですが、その点は問題の解を求める上で重要ではありません。

ベクトルuとvの1次結合を表すベクトル(a,b,c)が、平面上に存在するための条件を考えましょう。ベクトルuとvが張る平面を考えると、その平面上の任意の点は、uとvの1次結合で表されるはずです。

ベクトルuとvの1次結合を表すベクトル(a,b,c)が平面上に存在するためには、以下の条件を満たす必要があります。

ベクトル(a,b,c)がベクトルuとvの1次結合であること: (a,b,c) = λu + μv (λ, μは実数)

平面上に存在すること: ベクトル(a,b,c)が平面上にあるためには、ベクトル(a,b,c)がベクトルuとvに直交する必要があります。

したがって、条件1を満たすためには、

(a,b,c) = λ(1,-2,1) + μ(2,3,1)
= (λ+2μ, -2λ+3μ, λ+μ)

と表されます。

そして、条件2を考慮すると、ベクトル(a,b,c)がベクトルuとvに直交することから、

(λ+2μ)(1) + (-2λ+3μ)(-2) + (λ+μ)(1) = 0

この式を整理すると、

-3λ + 4μ = 0

となります。

したがって、条件1と条件2を満たすための関係式は、

a - 3b + 7c = 0

となります。

したがって、ベクトル(a,b,c)は、上記の関係式を満たす必要があります。原点O(0,0,0)を通ることを仮定する必要はありません。

このように、原点を通ることを仮定せずに、ベクトルuとvの1次結合を考えることができます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

2つめの条件なのですが、「ベクトル (a,b,c)が平面上にあるためには、ベクトル (a,b,c)がベクトルuとvに直交する必要がある」
がよく分かりません。

(a,b,c)がuとvに直交していたら、(a,b,c)はuとvの線形結合で表せないのではないですか?

お礼日時:2023/06/19 14:34

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