ベクトルの問題です

四面体OABCにおいて、OA=OB=OC=3、AB=BC=CA=√6である。
また、点Pは辺ABをx：1-xに内分し、点Qは辺OCをy：1-yに内分する。（0<x<1、0<y<1）
OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトルとして次の問いに答えよ。
(1)内積a・bベクトルを求めよ
(2)PQベクトルをaベクトル、bベクトル、cベクトル、x、yで表せ
(3)2点P、Q間の距離PQの最小値と、そのときのx、yの値を求めよ

(1)は、余弦定理を使ってcos∠AOBが2/3からa・bベクトルが6とだすことが出来ました。
(2)から分かりません。
出来れば詳しい解説をよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/08/03 21:45

OPベクトルをOP↑と表すことにします。

(2)
PQ↑=OQ↑-OP↑
ですので、OQ↑とOP↑をa↑,b↑,c↑,x,yで表せばよい。
QはOCをy:(1-y)に内分する点だから
OQ↑=y*c↑
PはABをx:(1-x)に内分する点だから
OP↑=(1-x)*a↑+x*b↑
ですね。

(3)
PQ↑の大きさの2乗は
PQ^2=PQ↑・PQ↑　(PQ↑とPQ↑の内積)
となります。このPQ↑に(2)で得られた式を代入して展開してみましょう。
ここで
a↑・b↑=b↑・c↑=c↑・a↑=6 ((1)の結果より)
の関係と
a↑・a↑=b↑・b↑=c↑・c↑=9 (a↑・a↑=OA^2=9)
を使うと、ベクトルは全て数字に変わり、x,yだけの式になります。
その式を変形して最小値を求めればよい。まず、xについて平方完成の式を立て、残った項についてyについての平方完成の式を立てればよいでしょう。


追記
(1)は余弦定理を使うよりもAB↑=b↑-c↑として、AB↑・AB↑=6の関係を使うほうが楽そう。直接a↑・b↑の値が得られます。

この回答へのお礼

大変遅くなってすみません。
丁寧な解説ありがとうございます。
ちゃんと解き切ることが出来ました！

お礼日時：2011/11/16 20:47