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大学入試(数学・ベクトル) 正五角形について

 上記内容について、以下の質問をさせてください。
 「平面上に正五角形ABCDEがある。その中心をOとすると、ベクトルOA(上矢印は省略します)
  の大きさは1であるという。このとき、

  ベクトルOA+ベクトルOB+ベクトルOC+ベクトルOD+ベクトルOEは?」
 
 という問題に対して、解答の解説が「対称性よりベクトル0」とありました。
 私が確認させていただきたいのは、
 ○この「対称性から」というものが、もう少し具体的に「こうこうこうなので、対称性が
  言えて、この対称性からこうこうこうなので答えがベクトル0になる」のようにこうこうこう
  の部分に相当するものが知りたい
 のです。
 ベクトルOAの終点にベクトルOBの始点を合わせてを続けると、結局ベクトルOAの始点に戻る
のでベクトル0は答えとしては合うのですが、この「対称性より」がよく分かりません。
 よろしくお願い致します。

A 回答 (3件)

回転対称性のこと とするのが普通だと思いますが、


線対称性のこと でもいいような気はします。

正五角形ABCDEの外接円中心をO、
5点A,B,C,D,Eの重心をGと置きます。
正五角形が、直線OA,OB,OC,OD,OEについて
線対称(5本の内、どれか2本でも十分だが)なことから、
点Gは点Oに一致することが判ります。
よって、(→OG) = (→0)。

質問の式は、重心の定義より = 5(→OG) だから、
= (→0) になる。
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この回答へのお礼

alice_44さん

ご回答いただきありがとうございます。
私にとっては、新しい視点です。助かりました。

お礼日時:2010/09/24 09:09

こんばんわ。



「こうこう」の議論の前に、言葉をきちんとしておきましょう。^^

>平面上に正五角形ABCDEがある。その中心をOとすると、
最近、たまに見かけますが「図形の中心」という言い方はあまり望ましくないと思います。
いまの場合であれば、外接円の中心と呼ぶのが適当だと思います。
試験の解答で、いきなり中心などと書かないようにした方がよいです。

で、外接円の中心として考えてみると、
まず、OA= OB= OC= OD= OEとなることがわかりますね。
添付の図で、OB→と OE→、OC→とOD→はそれぞれ辺OAに対して線対称な関係にあります。
つまり、OB→+ OE→や OC→+ OD→は OA→の定数倍になることがわかります。

考えているベクトル和は
OA→+ OB→+ OC→+ OD→+ OE→
= OA→+ (OB→+ OE→)+ (OC→+ OD→)
= k(A)* OA→

と表されることになります。(k(A)は定数)

あとは、これを 72度ずつ回転させて考えてみます。
つまり、辺OAを辺OB、辺OC・・・と考えていきます。
すると、
OA→+ OB→+ OC→+ OD→+ OE→
= k(A)* OA→
= k(B)* OB→
= k(C)* OC→
= k(D)* OD→
= k(E)* OE→

と表されることとなって、k(なんとか)の係数はすべて 0でなければならないことになります。

図形的にいえば、ベクトル和の終点(始点を点Oとして)が
辺OA上にあり、かつ辺OB上にあり、かつ・・・
となるのは、点O自身に戻ってきているときである。
ということになります。

対称性と呼んでいるのは、どちらかといえば回転に対する対称性というのが正しいと思います。
「大学入試(数学・ベクトル) 正五角形につ」の回答画像2
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この回答へのお礼

naniwacchiさん

ご回答いただきありがとうございます。
納得です。

お礼日時:2010/09/24 09:05

対称性というのは


∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=2π/5(=360°/5=72°)
ということですね。

(OB↑)=(OA↑)e^(i2π/5)
(OC↑)=(OB↑)e^(i2π/5)=(OA↑)e^(i4π/5)
(OD↑)=(OC↑)e^(i2π/5)=(OA↑)e^(i6π/5)
(OE↑)=(OD↑)e^(i2π/5)=(OA↑)e^(i8π/5)
∴OA↑+OB↑+OC↑+OD↑+OE↑=(OA↑){1+e^(i2π/5)+e^(i4π/5)+e^(i6π/5)+e^(i8π/5)}
=(OA↑){1-e^(i10π/5)}/{1-e(i2π/5)}
=(OA↑)(1-1)/{1-e(i2π/5)}
=(OA↑)*0=0(セロベクトル)
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この回答へのお礼

info22_さん

ご回答いただきありがとうございます。
この証明が高校レベルであれば、勉強不足でした。
もう少し考えてみたいと思います。

お礼日時:2010/09/24 09:07

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