ベクトルの問題

写真の問題なんですが、xベクトルとyベクトルをbベクトル、cベクトルで表すとこまではいったんですけど、その後のPCベクトルを求めるっていう発想はどうやったら出てくるんですかね？PCベクトルとかCQベクトルを求めるのって結構面倒くさいし、必ずしもyベクトルとPCベクトルが一致するとは限らないし、PCベクトルを求めようってなかなかならないと思うんですけど、どう思いますか？どういう考え方をすれば良いのか教えて下さい

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/17 18:51

解法は兎に角x,yベクトルをb,cベクトルで表してみる　そして

PCベクトル=ACベクトル　‐　 APベクトル　=cベクトル　-　xベクトル
までは基本なのでわかるので　後は　代入すれば関係がわかるというもの！
ベクトルが同値ならば平行であるのはベクトルの便利なところ！
　APベクトル=xベクトル=(1/3)(2bベクトル　＋　cベクトル)
QCベクトル=ACベクトル　‐　AQベクトル=cベクトル　‐　yベクトル
=cベクトル　-　(2/3)(cベクトル　-　bベクトル)=(1/3)(cベクトル+２bベクトル)
∴APベクトル=xベクトル=QCベクトル
でもいい！
数1は中学の復習レベル
数2が高校レベル
数3が大学1年レベル
ですね　義務教育ではないので量も授業のスピードもけた違いに早い
勉強方法を効率よくしないと置いてけぼりになりそう！
BS放送の初歩の数学が高校レベル　入門微分積分が数3レベルでしょう
何度も見て理解しましょう！

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/17 11:01

四角形APCQはどのような形状か

という問題なのだから
↑AP
↑PC
↑CQ
を求めるのです

この回答へのお礼

ベクトルを求めれば辺の方向が定まるから形もわかるってことか。この発想は無かった

お礼日時：2024/05/17 17:21

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/17 10:03

No.1 です。

ちょっと補足。

#1 に書いたことは、「やってみれば、自然にそうなることが明らかになる」ということではなくて、

「そうなることを、自分であれこれやってみて発見する、気づく」

ということです。

「何をどういじくって、何を発見するか」は、ある意味で「試行錯誤」です。「トライ・アンド・エラー」です。
「数学」は、決して「公式にあてはめて一発で答を出す」ものではなく、「ジタバタと試行錯誤して解を探す」ものと考えた方がよいです。

やり方は、「手当たり次第にやってみる」だったり、「あたりをつけてやってみる」だったり、「おそらくこうなるだろう」という勘を頼りにやってみたり、人それぞれです。
「こうやれば必ずうまくいく」などという安直なものは少ないので、「場数を踏んで」勘を養うとか、「出題者の意図を推測する」ような想像力を鍛えるしかありません。

この回答へのお礼

なるほど。やっぱり高校数学はレベル高いですね

お礼日時：2024/05/17 17:07

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/17 01:20

この問題に、最初から一本道の方針が立つとは思えないし、

写真の解答も、そのような解き方はしていない。

→b, →c, →x, →y が点 A を起点とした点 B, C, P, Q の位置ベクトル
になっていることから、とりあえず ①② を一次方程式として解いて
P, Q の位置ベクトルを得とくことは役に立ちそうだなとは考える。

やってみると ③④ の式が得られるが、この 2本の式を
何か特徴がないかな... とボーっと眺めていると、カンが良い人なら
(→y) // (→c) - (→b) // (→x) - (→c) になってることに気がつく。
気づかなければ、解けないだけの話。

→PC を求めてみようと思って計算したんじゃなくて、
③④をいじって組み立ててみた式が結果的に →AQ // →CP になってた
ということ。その上、式をよく見ると →AQ = →PC にまでなってるので、
これで、APCQ がどんな四角形か言えて終わりになる。
答えを発見するって、そういうこと。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/17 00:50

＞PCベクトルとかCQベクトルを求めるのって結構面倒くさいし

面倒なので、ベクトルの矢印は省略します。
ベクトルは、適当に「経過点」を設ければ簡単に変換できます。

PC = PA + AC = -AP + AC = -x + c　　　③
CQ = CA + AQ = -AC + AQ = -c + y　　　④

です。

① + ② より
　3x = 2b + c
→　x = (2/3)b + (1/3)c

① - ②×2 より
　-3y = 2b - 2c
→　y = -(2/3)b + (2/3)c

なので
③は
　PC = -(2/3)b - (1/3)c + c = -(2/3)b + (2/3)c 　　⑤
　　 = y = AQ　
④は
　CQ = -c - (2/3)b + (2/3)c = -(2/3)b - (1/3)c 　　⑥
　　 = -x = -AP = PA
ということが分かる。
ベクトルが「イコール」ということは、「長さが同じ」で「平行である」ということ。
従って
　PC//AQ, CQ//PA
　|PC| = |AQ|, |CQ| = |PA|