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命題「xy≦0ならばx≦0またはy≦0」の真偽の答えが真なのですが、納得がいきません。
対偶を考えれば納得いくのですが、命題のまま考えたとき、x≦0またはy≦0とは、x=y=-1の時も含むため成り立っていないのでは?と思います

なぜ真なのでしょうか。

質問者からの補足コメント

  • なぜx≦0またはy≦0 (ただしx≦0かつy≦0を除く)ではないのでしょうか

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/05/19 17:35

A 回答 (9件)

命題で必要条件 十分条件 必要十分条件を習ったと思います。


貴方の疑問において
xy≦0 と x≦0またはy≦0 が必要十分条件であるとおもっているからの
疑問ですが はたしてそうでしょうか?
xy≦0 とは x≦0 かつ y≧0 または y≦0 かつ x≧0
であって x≦0またはy≦0 ではありません それは
xy≦0 において 貴方の言われているx=y=-1は正となって成り立たない
からです つまり xy≦0 と x≦0またはy≦0 が必要十分条件ではないからです ですから 逆の
x≦0またはy≦0 ならば xy≦0 は成立しませんが
xy≦0 とは x≦0 かつ y≧0 または y≦0 かつ x≧0
ならば 必要十分条件なので 逆も成り立つわけです。
 命題は分かりにくいので再度復習しましょう!
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xy≦0 となる 点(x,y)の集合 が図の赤の部分



x≦0またはy≦0 となる 点(x,y)の集合 が 図の赤と青を合わせた部分

xy≦0 ならば 

点(x,y)は

図の赤部分に含まれるから

図の赤と青を合わせた部分に含まれるから

x≦0またはy≦0 となる
「命題がわかりません!!」の回答画像8
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一応書いておくと、x=y=-1は反例になってない。


xy≦0は偽
x≦0又はy≦0は真
よって
xy≦0→x≦0又はy≦0
は真

A→Bは(¬A)VB と同じものです。
あなたの反例はB→A (x≦0又はy≦0→xy≦0)用ですね。
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そもそも


xy≦0ならば「x≦0またはy≦0 (ただしx≦0かつy≦0を除く)」
は成り立たないからねしょうがないね.

なお「x≦0またはy≦0とは、x=y=-1の時も含む」というのは正しいが, そのときに「xy≦0ならばx≦0またはy≦0」が成り立たないと思っているのだとしたらそれは勘違いである.
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>x≦0またはy≦0とは、x=y=-1の時も含むため・・・



含みません!!
「x≦0またはy≦0」の中に、当然「x≦0かつy≦0」の意味は 含まれません。
従って わざわざ (ただしx≦0かつy≦0を除く)は 意味がありません。
「a or b」 と 「a and b」 は 別の意味でしょ。
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ひょっとして「Aならば(→)B」が真ならAとBは同値(A⇔B)だと思ってません?



x>3 ならば x>0
は常に真ですが
x>0ならばx>3 はx=1では偽です。

A→Bが真だから、B→Aとは限らない。「ならば」の基本の基本です。
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xy≦0


これを満たすような(x、y)の組は
(0、0)や
(-1、+1)
(√2、-√3)

などであり
これらの組をまとめてPとします
つまり、xy≦0を満たすような(x、y)の集合をPとする

同様に
x≦0またはy≦0を満たすような
(x、y)の
集合をQとする
こうしたとき、
「Pに属するような(x、y)であれば
その(x、y)は必ずQにも属している
ならばP→Qは真ですし
Pに属しているもののうち、ひとつでもQからはみ出すものがあれば
P→Qは偽」
ということになります

本問では、x-y平面にPの領域とQの領域を図示してみれば、Pに属する(x、y)はQからはみ出していないとわかるので、P→Qは真です

反例として貴方が挙げようとしてる
(-1、-1)は、
Pに属していないので
先に、「 」で説明したPに属しているもののうちQからはみ出しているものがあれば偽
という内容からバズれています
これでは判例になっていないのです
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x≦0またはy≦0 では「ただしx≦0かつy≦0を除く」なんて言ってない。

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xy≦0 → x≦0またはy≦0


と言ってるだけで
x≦0またはy≦0 → xy≦0 (偽)
とは言ってない。
この回答への補足あり
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