簡単な論理の問題のはずが・・・

先日大学の小テストで出た問題なのですが、
「片面に図形、その反対の面に数字の書いてあるカードが４枚机の上に並べてあり、□、２、▽、７が見えている。『カードのどちらかの面に四角形が書かれているならば反対側の面は奇数が書かれている』をこの４枚のカードが満たしていることを確かめるためには、最低限度のカードを裏返す必要があるか？理由をつけて答えよ」
という問題に対して、以下のような解答をしました。
「□と２のカードを裏返せばよい。（理由）『カードに□が書かれている』という命題をA、「反対の面が奇数」という命題をBとすれば、A⇒Bを偽としうるのはAが真でかつBが偽であるときのみであるため」
こうしたところ半分の点数ももらえませんでした。次に教授に会えるのはしばらく先になるので疑問が解消されずもやもやした感じです。何がまずいのかをご指摘ください。

No.11 ベストアンサー 回答者： shkwta 回答日時： 2005/04/23 08:43

問題の構造から見ると、次のようなことになっています。

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4枚のカードをC1, C2, C3, C4とし、それぞれ□,２,▽,７が書いてあることがわかっています。

『カードxに□が書いてある』をA(x), 『カードxに奇数が書いてある』をB(x)とします。

真偽を求めたい命題Pは　(A(C1)⇒B(C1))∧A(C2)⇒B(C2))∧(A(C3)⇒B(C3))∧(A(C4)⇒B(C4))

A(C1)は真ですから、A(C1)⇒B(C1)の真偽は B(C1)に一致
B(C2)は偽ですから、A(C2)⇒B(C2)の真偽は A(C2)の否定に一致
A(C3)は偽ですから、A(C3)⇒B(C3)は真
B(C4)は真ですから、A(C4)⇒B(C4)は真

B(C1)の真偽とA(C2)の真偽は現時点で不明であるため、Pの真偽を求めるには最低限C1とC2を裏返す必要があります。
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上の説明は解答としては詳しすぎるかもしれません。しかし少なくとも、４枚のカードに書かれた数字・記号が、それぞれPの真偽にどう影響するかを言わないと、説明にならないと思います。この点を、ご解答に簡単に補足するとすれば、次のようになると思います。

＞□と２のカードを裏返せばよい。
＞（理由）『カードに□が書かれている』という命題をA、「反対の面が奇数」という命題をBとすれば、

４枚のカードですべてA⇒Bが真であることを確かめる必要がある。

＞A⇒Bを偽としうるのはAが真でかつBが偽であるときのみであるため

▽のカードと７のカードではA⇒Bが真なので、裏返す必要がない。□のカードと２のカードではA⇒Bの真偽が不明なので、裏返す必要がある。

この回答へのお礼

なるほど。確かにこの問題は(A(C1)⇒B(C1))∧A(C2)⇒B(C2))∧(A(C3)⇒B(C3))∧(A(C4)⇒B(C4))の真偽判定問題、と捉えるのが一番正確ですね。
それを考えると各々の真偽に関して説明があったほうがいいわけですか。
そう言われると確かに説明不足である気もしますね。

お礼日時：2005/04/23 09:55

No.12 回答者： fuyumerei 回答日時： 2005/05/01 04:52

既出ですが

・(偶数である)２の裏は□以外でなければならない。

・条件より、▽のカードの裏に□が書かれていることはない。

・７の裏に、何が書かれているかは命題に無関係。

を追加？
だが、やはりこれらいずれをとっても明示だといえることですよね。う～ん。。


私が言いたいのは、実はここからです。
それ以上は答案に不要なんじゃないかなあ。。と私も思ってしまいますので、教授さんの「『最低限』って問題に書いてあるんだからそれを示さんとだめだぞ」の意味をぜひ私にもお教えいただきたいと存じます。

＞後日教授に質問できるまでは打ち切らないでおきますので。そのとき補足つけます。

とのことですので、お手数ですがご協力お願いいたします。
変な回答になってしまいました。。。


あと。。。最低限を見つけるために
４枚めくれば当然わかる。
３枚(２、□、▽or７)▽と７はこうこうこうで不要。
だから、２と□の２枚だ！
みたいな論証の仕方はバカですか？

私が質問してしまっている。。。

この回答への補足

教授に質問して参りました。
結論から言うと、No.11でいただいた解答のとおり、すべてのカードにおいて真偽の確認が必要、とのことです。
「～が偽であるため」ではそれを確かめて偽であることがわかっても、
命題全体が真であるかは明らかではないとのことです。

ちなみに、模範解答ではわざわざ「真」とか「偽」とか言わず、それぞれのカードに関して確かめなければいけない理由を述べて終わりになっていました。
（つまりfuyumereiさんの解答は満点です。）
よっぽどその方が感覚に頼っている気もしますが、どこまでを自明とするか、というテストにおける線引きの問題も多少関わっていたようです。
なんにせよ、いろいろと問題点を指摘してくださった皆様、ありがとうございました。

補足日時：2005/05/01 23:18

No.10 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/23 01:48

何度もすみません。

勘違いしてました。

他の理由としては、
「反対の面」が曖昧だからかと思います。

数字の反対の面とも解釈できますよね。

No.9 回答者： noname#24477 回答日時： 2005/04/23 01:27

教授の言葉からすれば「▽、７は裏返す必要が無い」と

いうことも触れてほしかったのかも知れませんね。
全部裏返しても間違いではない（確認できる）ので。

それは述べている理由から明らかと言ってしまえば、
何でも明らかで終わってしまいます。

でも、私もあなたの答でほとんど「明らか」だと思います
けれどね。

この回答へのお礼

結局そういう結論に至りそうですね。
詳しくは教授に聞いてみることにします。
あとこれからはこの教授の小テストでは多少くどいところまで解答書くようにします・・・

お礼日時：2005/04/23 01:35

No.8 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/23 01:08

表記が正確でなかったので補足します。

「A⇒Bを偽としうるのはAが真でかつBが偽」
という表現をもとに、カードをめくって確かめるときには、
Aが真⇒Bが偽　を確認するということになり、

数字の書かれているカードを確認する際には、
その対偶の

Bが真⇒Aが偽　を確認するという理屈になるのでは、
という意味です。

単純に、

A⇒Bが真となるばあいを確かめる、すなわち、
Aが真⇒Bが真
とその対偶
Bが偽⇒Aが偽
であることを確かめることを目的として、
Aが真である四角のカードと、
Bが偽である偶数のカードをめくればよい、

と書けばよかったのだと思います。

この回答への補足

「Aが真でかつBが偽」を確かめるのは「Aが真⇒Bが偽　を確認する」ことではないと思います。（“ならば”は意味が異なるはずです）

あと、「A⇒Bが真である」と同値なのは
「（Aが真∧Bが真）∨（Aが偽∧Bが真）∨（Aが偽∧Bが偽）」
です。つまり「真であることを確かめる」ならば上の三つのどれかであることを調べなくてはなりません。
（ただこの問題では偽であることを確かめれば解答としてじゅうぶんであるとおもうのですが・・・）

補足日時：2005/04/23 01:22

No.7 回答者： tasu9 回答日時： 2005/04/23 01:07

Ａ⇒Ｂの真偽の説明が足りなかったからじゃないですか。

真をＴ、偽をＦとすると、
□はＴ、２はＦ、▽はＦ、７はＴだから、

□のカードは、（ＴＴ）なら真、（ＴＦ）なら偽
２のカードは、（ＴＦ）なら偽、（ＦＦ）なら真
▽のカードは、（ＦＴ）でも（ＦＦ）でも真
７のカードは、（ＴＴ）でも（ＦＴ）でも真

これでいいと思いますよ。
ただし（　）の表記は、左がＡに対して、右がＢに対しての真偽です。

この回答へのお礼

そうですね。そこまで書けば満点だったかもしれません。
減点される理由はよくわかりませんが・・・
それはまた後日きちんと教授に話を伺います。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/23 01:22

No.6 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/23 00:36

A⇒Bを偽としうるのはAが真でかつBが偽であるときのみであるため

Aが真でかつBが偽であり、と書くと、その対偶は
Bが真でありかつAが偽、となり、

この説明だと、Bが真、すなわち反対の面が奇数である７を裏返す理屈であるはずなのに、２を裏返すと書いたから、論理が矛盾していると解釈したのではないでしょうか。

正解は、＃５さんがおっしゃられる通りですね。

この回答への補足

＞Aが真でかつBが偽であり、と書くと、その対偶は
＞Bが真でありかつAが偽、となり、
？えっといまいちわからないのですが・・・（すみません）
対偶を取る必要があるのですか？
しかも対偶は（A⇒B)に対して定義されているのでは？

補足日時：2005/04/23 00:56

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2005/04/23 00:27

私は何もまずくないと思いますが。

。。

＞□と２のカードを裏返せばよい。
という結論は間違っていないので、理由の方がまずいんですかね。

「□の裏は奇数でなければいけない」
「２(偶数)の裏は四角形以外でなければいけない」

この２点を明示する必要があったのかもしれませんね。

この回答へのお礼

あーなるほど・・・そこまで説明しないとわからない、のかもしれませんね。

お礼日時：2005/04/23 00:55

No.4 回答者： matsu_jun 回答日時： 2005/04/23 00:27

本当に何が問題なんでしょう。

私もsioois様の回答で問題ないと思うのですが。。。
ひょっとしたらあれですか？「対偶」というキーワードが必要だったとか。
問題文にある命題の対偶である
「カードのどちらかの面に偶数が書かれているならば、反対側の面は四角形ではない」
を確認するために「2」のカードを裏返す必要がある。
といった記述が必要だったのかもしれませんね。
また、後ろの2つのカードを確認する必要が無い根拠も蛇足だとは思いますが書いてもよかったのではとも思ってみたり。
「片面に図形、その反対の面に数字が書かれていることから、▽のカードの裏面には□が書かれていることはあり得ない」
「7のカードの裏面が□であってもそうでなくても先述の命題を覆さない(これは本当に蛇足だと思いますけどね)」
何か全然アドバイスになっていなくて申し訳ありません。なんだか私自身ももやっとしてきました。
教授に会って確認ができたら是非とも補足欄にでも後日談を語っていただければと身勝手なお願いをしたいなと思いました。

この回答へのお礼

なるほど・・・もしかしたらその蛇足の部分が必要だったのかもしれません。
問題回収し終わった後、教授が以下のように言っていました。
「『最低限』って問題に書いてあるんだからそれを示さんとだめだぞ」

それでも、「（A⇒B）が偽である」⇔「Aが真∧Bが偽」である以上それを調べれば十分だ、というのは説明になってないんでしょうか・・・？
後日教授に質問できるまでは打ち切らないでおきますので。そのとき補足つけます。

お礼日時：2005/04/23 00:52

No.3 回答者： houng 回答日時： 2005/04/23 00:26

一つ一つみていくと、

２の裏に□が書かれていた場合、条件の『カードのどちらかの面に四角形が書かれているならば反対側の面は奇数が書かれている』は満たされません。ですので、２の裏を確認する必要があります。▽は裏が何であってもこの条件は満たされます。また、７の裏が何であってもこの条件は満たされています。（□ならば７は奇数でOKですし、□以外でも奇数であっていけないわけではありません。）ですので、４枚のカードが満たしていることを確かめるためには、最低限、□と２のカードを裏返す必要があります。
と答えれば良かったのではないでしょうか。

この回答へのお礼

やはり一つ一つ丁寧に書け、ってことだったんでしょうか。
ただ私としては上の解答で十分満たしていると思ったんですがね・・・

お礼日時：2005/04/23 00:38