命題の真偽

Question

命題xy≦0ならばx≦0またはy≦0

解答ではこの命題は「真」となっていましたが、
本当に真でしょうか？間違いではないかと思ったので
投稿しました。
どなたかご確認していただけないでしょうか？

asuncion · Accepted Answer

命題「xy≦0ならばx≦0またはy≦0」の真偽は、この命題の対偶である
命題「x>0かつy>0ならば、xy>0」（※）の真偽と一致します。

命題（※）が真であることは自明です。
よって、命題「xy≦0ならばx≦0またはy≦0」は真であることが証明できました。

stomachman · Answer

ご質問にお書きのものを命題とお認めであるのなら、それは「真」でよろしいでしょう。
　これを「間違いではないかと思った」理由をお聞かせ願えれば、一層ツボをついた解説も可能かと思います。

うるさいことを言えば、お書きの言明には「xやy≦や積がナニモノであるかということが指定してない」という問題点があるので、厳密にはこれは（真偽を問う以前に）「命題」とは呼べません。
　ですが、算数だか中学の数学だかの文脈における数の比較の話なんだろうな、と思う事にすれば、そのあたりの曖昧さは許容できる程度でございましょう。だからこそこれを「命題」と呼んでいらっしゃるのだろうと理解いたします。
　そういう解釈の上で、（つまり、ご質問にお書きのものを命題とお認めであるのなら、）「真」でよろしいでしょう、というのが回答です。

ーーーーーーーーーーーーー

さて、以下はおそらく質問者さんにとっては無用の混乱を招くだけだろうと思われ、読み飛ばして戴く方が御身のためじゃないかと思います。

が、数学スレの性格上、厳密性ということをないがしろにはできないという都合がございまして、ちょっと書いとかなくちゃいけません。

上記の「ナニモノであるかが書いてない」という弱点を突いたのがANo.2です。これに対して、ANo.3が出ました。複素数では≦は定義されておらず、当然≦なんか使わない。そんなもん意味不明じゃないか、という穏当なご意見です。（中学高校の数学教師の大半はANo.3に賛同なさりそうな気がします。）
　さて、「x≦y」とは本来何のことかというと、実数のペア(x,y)を要素とする集合「≦」が決めてあって、
　　(x,y)∈≦
である、ということを意味しています（もう少し詳しい解説はhttp://oshiete.goo.ne.jp/qa/7018385.htmlにあります）。
　集合≦は実数のペアしか含みませんから、xかyが実数でない場合には(x,y)∈≦は当然偽であり、すなわちx≦yは偽になる。同様に、>も実数のペアの集合であり、xかyが実数でない場合にはx>yも偽です。たとえば、i≦0もi>0も、どっちも偽である。
　なので、ANo.2は（言明を「命題」だとウッカリ認めちゃったりさえしていなければ、カンペキに）正しいんですね。

asuncion · Answer

虚数単位とゼロとの大小を比較することにどういう意味があるか、
私にはよくわかりませんでした。

notnot · Answer

この命題が真であるためには、x と y が実数であるという前提が要りますね。

x = y = i (=虚数単位) だと、 xy ≦0 ですが、x≦0 は偽です。 x > 0 も偽ですが。

x も y も実数なら No1の回答の通り真です。

命題の真偽

命題「xy≦0ならばx≦0またはy≦0」の真偽は、この命題の対偶である

ご質問にお書きのものを命題とお認めであるのなら、それは「真」でよろしいでしょう。

虚数単位とゼロとの大小を比較することにどういう意味があるか、

この命題が真であるためには、x と y が実数であるという前提が要りますね。

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