高2の数学の対数関数です。 真数条件を使う時と使わない時の違いが分かりません。一応調べては見たのです

高2の数学の対数関数です。
真数条件を使う時と使わない時の違いが分かりません。一応調べては見たのですが、この372と373が何故、真数条件を使う、使わないが違うのかが分かりません。
よろしくお願いします！

質問者からの補足コメント

• 調べた時に、＝の問題は真数条件を考えることが少ない、不等式の時によく使う、真数条件は常に考えておいた方が良い、見てわかる問題は省略しているだけというのを見ました。
  
  今回の問題で自分なりに違いを見てみたのですが、
  372の方はどちらも問題文の時点でx²になっているので真数が正になるのが確定しているので考えなくても良い、ということですか？
  373の方は問題文の時点ではx²になっていないので真数条件を省略しないで書いているということですか？
  よろしくお願いします。

    補足日時：2023/10/11 14:45

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/14 16:05

372の方はどちらも問題文の時点でx²(xの2次式)になっているけれども

その事によって真数が正になるのが確定しているわけではありません
(あくまで変形が同値変形かどうかによるのです)

例えば
以下(例題1)の場合
問題文の時点でx²(xの2次式)になっているけれども
真数が正になるのが確定しているわけではないので
真数条件が必要です

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/13 16:53

方程式

log_10{(x+2)(x+5)}=1
を解くというのは
log_10{(x+2)(x+5)}=1
となるような実数xの集合
{x|log_10{(x+2)(x+5)}=1}
を求める事なのです

372(1)の場合

{x|log_10{(x+2)(x+5)}=1}
=
{x|(x+2)(x+5)=10^1}

なので真数条件を使う必要がないのです

372(2)の場合

{x|log_{1/3}(9+x-x^2)=-1}
=
{x|(9+x-x^2)=(1/3)^{-1}}

なので真数条件を使う必要がないのです

373(1)の場合

{x|log_2(x)+log_2(x+3)=2}⊂{x|log_2{x(x+3)}=2}
だけれども

x<0
x+3<0
のとき
log_2{x(x+3)}=2
は成り立つけれども
log_2(x)+log_2(x+3)=2
は成り立たないから
{x|log_2(x)+log_2(x+3)=2}≠{x|log_2{x(x+3)}=2}
だから
真数条件を使って
{x|log_2(x)+log_2(x+3)=2}
={x|(log_2{x(x+3)}=2)&(x>0)&(x+3>0)}
と
する必要があるのです

373(2)の場合

{x|log_4(2x+3)+log_4(4x+1)=log_4(5^2)}
⊂{x|log_4{(2x+3)(4x+1)}=log_4(5^2)}
だけれども

2x+3<0
4x+1<0
のとき
log_4{(2x+3)(4x+1)}=log_4(5^2)
は成り立つけれども
log_4(2x+3)+log_4(4x+1)=log_4(5^2)
は成り立たないから
{x|log_4(2x+3)+log_4(4x+1)=log_4(5^2)}
≠{x|log_4{(2x+3)(4x+1)}=log_4(5^2)}
だから
真数条件を使って
{x|log_4(2x+3)+log_4(4x+1)=log_4(5^2)}
={x|(log_4{(2x+3)(4x+1)}=log_4(5^2))&(2x+3>0)&(4x+1>0)}
と
する必要があるのです

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/12 12:49

＞ 372の方はどちらも

＞ 問題文の時点でx²になっているので真数が正になるのが確定しているので
＞ 考えなくても良い、ということですか？

No.1 の回答が理解されなかったのは悲しい。

(1) は、(x+2)(x+5) = 10^1 が成り立つような x に対しては
(x+2)(x+5) は 10^1 なんだから (x+2)(x+5) > 0 は確定してる って話。

(x+2)(x+5) は x² の形にはなってなくて、
例えば x = -3 なら (x+2)(x+5) < 0 になるし。
これは、式形じゃなく式の値の話だよ。

(2) も同様。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/11 16:38

訂正です

変形が同値変形であるかどうかによります

log_10{(x+2)(x+5)}=1
↓↑
(x+2)(x+5)=10^1
は
同値変形

log_{1/3}(9+x-x^2)=-1
↓↑
(9+x-x^2)=(1/3)^{-1}
は
同値変形

log_2(x)+log_2(x+3)=2
↓
log_2{x(x+3)}=2
は
逆が成り立たないので
同値変形ではない

真数条件を追加すれば

(log_2(x)+log_2(x+3)=2)
↓↑
(log_2{x(x+3)}=2)&(x>0)&(x+3>0)
は
同値変形になる

log_4(2x+3)+log_4(4x+1)=log_4(5^2)
↓
log_4{(2x+3)(4x+1)}=log_4(5^2)
は
逆が成り立たないので
同値変形ではない

真数条件を追加すれば

{log_4(2x+3)+log_4(4x+1)=log_4(5^2)}
↓↑
{log_4{(2x+3)(4x+1)}=log_4(5^2)}&(2x+3>0)&(4x+1>0)
は
同値変形になる

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/11 16:35

変形が同値変形であるかどうかによります

log_10{(x+2)(x+5)}=1
↓↑
(x+2)(x+5)=10^1
は
同値変形

log_{1/3}(9+x-x^2)=-1
↓↑
(9+x-x^2)=(1/3)^{-1}
は
同値変形

log_2(x)+log_2(x+3)=2
↓
log_2{x(x+3)}=2
は
逆が成り立たないので
同値変形ではない

真数条件を追加すれば

(log_2(x)+log_2(x+3)=2)&(x>0)&(x+3>0)
↓↑
log_2{x(x+3)}=2
は
同値変形になる

log_4(2x+3)+log_4(4x+1)=log_4(5^2)
↓
log_4{(2x+3)(4x+1)}=log_4(5^2)
は
逆が成り立たないので
同値変形ではない

真数条件を追加すれば

{log_4(2x+3)+log_4(4x+1)=log_4(5^2)}&(2x+3>0)&(4x+1>0)
↓↑
log_4{(2x+3)(4x+1)}=log_4(5^2)
は
同値変形になる

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/11 15:45

対数の 底や真数の 条件は、

問題文や問題の式から 明らかな場合は、
解答に書く必要はないでしょう。

373 も 372 も 対数の定義から計算して、
最終的に 真数条件を確認するのが ベターだと思います。

No.2 回答者： AっKI 回答日時： 2023/10/11 15:28

そんな違い、考えようとするだけ無駄です。

『すべての場合で考える』

これだけ。

真数条件はどんな場合でも満たさないといけない。
したがって、
『どんな場合でも考えればよい』
結果的に条件を使わない（求めた答えがすべて満たしている）
場合でも、それをもって減点されるということはないので
全ての場合で書けばよい。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/11 14:24

真数条件は、常に満たされていなければなりません。

372 の場合は、真数は (1) 10^1 (2) (1/3)^-1 でどちらも正
であることが見えていますから、わざわざ言及してないだけでしょう。