(2)の回答が「n≧2のとき、」から始まってるのですが、なぜn≧2であることを示さないといけないので

(2)の回答が「n≧2のとき、」から始まってるのですが、なぜn≧2であることを示さないといけないのですか

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/10 01:56

おっしゃる通りで、n＜2 の場合を特別扱いする必要はないですね。

　　S[n,m] = Σ{k=1〜n}(√(k + m) - √k) …(1)
　　　　= (Σ{k=1〜n}√(k + m)) - (Σ{k=1〜n}√k)
　　　　= (Σ{k=(m + 1)〜(n + m)}√k) - (Σ{k=1〜n}√k)
　　　　= (Σ{k=(m + 1)〜n}√k) + (Σ{k=(n + 1)〜(n + m)}√k)
　　　　　　- (Σ{k=1〜m}√k) - (Σ{k=(m + 1)〜n}√k)
　　　　= (Σ{k=(n + 1)〜(n + m)}√k) - (Σ{k=1〜m}√k)
　　　　= (Σ{k=1〜m}√(n + k)) - (Σ{k=1〜m}√k)
　　　　= Σ{k=1〜m}(√(n + k) - √k) …(2)
　式同士が等号で結ばれている、いわゆる「同値変形」ですから、もちろん(1)と(2)は（n, mがどうあれ）同じことを表している。ただ、(1)は「項の数がmに依らない」、(2)は「項の数がnに依らない」という、それぞれの特徴がある。それだけの違いです。
　特に（ご質問の）m=2の場合なら、
　　S[n,2] = Σ{k=1〜m}(√(n + k) - √k)…(2)
　　　　= (√(n + 2) - √2) + (√(n + 1) - √1)…(2)
となる。

　当然、m=2, n=1のとき、
　　S[1,2] = Σ{k=1〜1}(√(k + 2) - √k) …(1)
　　　　= √3 - √1
　　S[1,2] = Σ{k=1〜2}(√(n + k) - √k) …(2)
　　　　＝(√3 - √2) + (√2 - √1)
　　　　= √3 - √1
と、両者が一致する。m=2, n=0のときも
　　S[0,2] = Σ{k=1〜0}(√(k + 2) - √k) = 0 …(1)
　　S[0,2] = Σ{k=1〜2}(√k - √k) = 0 …(2)
と一致する。
　当たり前だし、何の問題もないですね。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/09 23:17

「n≧2であることを示す」って, どういうこと?

あたりまえだけど n=1 かもしれないよ. まあ n=1 なら直接計算しろってことになる.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/09 19:45

結果的に n≧2 のときの S(n) を表す式と

S(1) を表す式が、ひとつの式では書きにくいからかな。
ひとつの式で書けないこともないけど、
かなり不自然で技巧的な式になる。

こういうことって、∑の計算にはありがち。
S(n) = ∑[k=1..n] f(k) の計算って
S(1) = f(1),　　　　　　　　　　　　　←[1]
n≧2 のとき S(n) - S(n-1) = f(n).　　　　←[2]
という漸化式を解いたことになる。こう書くと、
n = 1 のとき S(n) を決めるルールと
n≧2 のとき S(n) を決めるルールは別である
ことが見やすいはず。だから、S(n) を表す式は別々になる。

[2] を満たす(が、[1]を満たすとは限らない)解のひとつを
S(n) = g(n) としてみよう。 g(n) は n の具体的な数式で与えられている。
このとき、 S(n) = g(n) + C (Cは定数) で与えられる S(n) もまた
[2] のになる。 g(n) - g(n-1) = f(n) が成り立てば、
( g(n) + C ) - ( g(n-1) + C ) =f(n) もまた成り立つことに注意しよう。
よって S(n) = g(n) + C が [2] の一般解になるわけだが、
その中で [1] も満たすものは f(1) = S(1) = g(1) + C の解 C に対応する
ことが解るだろうか。この辺の事情は、
初期条件を持つ微分方程式を解く際の積分定数の扱いとよく似ている。

さて、与えられた f(k) に対する g(n) の式形は [2] のみで決まるのだが、
[1] を加味して S(n) を決めたときに S(0) = 0 が成り立つとは限らない。
[1][2] から、[2] が n = 1 でも成り立つとすると S(1) - S(0) = f(1) となるから、
得られた S(n) の式が S(0) = 0 を満たさないようなものだったとすれば
S(1) は特別扱いが必要になるわけだ。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/09 17:56

n=1 のときは「総和」にならないから。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/06/09 16:16

実際　n=1 を計算してください　すると　S1=√3　‐　1　.....(1)

であり
Sn は　和であり　n を使った式を計算すれば　n≧2　ならば
Sn=√(n+2) +√(n+1) -√3　‐　√2
ここに　n=1を代入すれば　S o=0 となり (1)を満たさないからです。
実際　最後まで計算すればわかるはず！

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2023/06/09 15:23

1以下では条件が成立しないから