xのとりえる値の範囲

Question

実数x,y,zが
y+z=1
x^2 + y^2 + z^2=1
を満たしながら変わるとき、xのとりえる値の範囲を求めよ。

これはy+z=1, yz=x^2/2 より、y,zを解にもつ２次方程式を立ててその式が
実数解を持つ条件を求めればxのとりえる値の範囲が出てくると書いてあったですが、
なぜこのように考えられるのか分かりません。考え方を教えてもらえませんか？

zabuzaburo · Accepted Answer

No.6で述べた基本に沿って、ご質問の問題ではどうなるのか、
詳しく調べてみましょう。
まずは正攻法を示しますので、これを完全に理解することが先決です。

xがある値『k』を取り得るかどうか、
すなわち値『k』がxの値域に含まれるかどうかは、
●「『[a]y + z = 1 かつ [b]k^2 + y^2 + z^2 = 1』……(#)
という、この(#)を満たす実数y,zが存在するかどうか」……(*)
にかかっています。
文章が入れ子構造になっているので注意深く読んでください。
ここでの特徴は、yとzという
2文字についての存在条件となっていることです。

まず、(*)の中の(#)の部分([a]かつ[b])を
書き直していきます。
[a]は y = 1 - zであり、これを用いれば[b]は
k^2 + (1 - z)^2 + z^2 = 1と書き換えられます。
整理すると「z^2 - z + (k^2)/2 = 0」となります。
すなわち、(#)は
『[a']y = 1 - z かつ [b']z^2 - z + (k^2)/2 = 0』……(#')
と書き直すことができました。

さて、全体の(*)は「(#)を満たす実数y, zが存在する」
という条件でした。
ここで書き直したばかりの(#')をよく見ながら考えると、
[b']のほうを満たす実数zが存在しさえすれば、
その値から 1 - z という値を作れば、
(1から実数を引いても必ず実数になるので)
[a']を満たす実数yは自動的に存在することが分かります(ここがポイントです)。
そうすると結局、
2つの文字y, zについての2つの条件[a'][b']を考える必要はなく、
(*)は単に
「[b']を満たす実数zが存在する」……(*')
という条件にまで切り詰めることができるのです。
(#)の中だけでどんなに書き換えを行っても
文字や条件の個数が減ることはありませんが、
その存在条件である(*)全体を考えて初めて
個数を減らすことができるわけです。
あとは(*')を2次方程式[b']の実数解条件と捉えて
判別式を持ち出せば値域が求まります。

以上がこの問題の仕組みです。
ところが、この問題ではたまたま条件(#)が
y,zについての対称式で与えられているために、
地道に文字を減らして(*')に持って行く代わりに、
super_mario_さんのおっしゃるような
「2文字についての存在条件を一挙に処理してしまう」
という方法が可能なわけです。
確認して欲しいのですが、上で述べた[b']を見ると、
No.6の「お礼」欄にsuper_mario_さん自身の書かれた
「tについての2次方程式」と同じものが得られています。
この解法では、[a]を用いて[b]を対称性が崩れないように変形して
「『[a] y + z = 1 かつ [bb] yz = (k^2) / 2』……(##)
という、この(##)を満たす実数y,zが存在するかどうか」……(**)
という条件に書き換えていることになります。
ここで[a]をy = 1 - zとして[bb]のyをさらに書き換えて消去すれば、
結局さきほどの解法に合流してしまいます。
しかし、ご存知のように(##)は
「y, zは2次方程式『■^2 - ■ + (k^2)/2 = 0』の2解である」……(##')
と言い換えられますから、これを満たす2実数y, zの存在条件(**)は
2次方程式の実数解条件として少しだけスマートに処理することができます。

hinebot · Answer

zabuzaburoさんが2回に渡り詳しく解説されているので、蛇足かも知れませんが。

> x,y,zが実数のうちy,zが実数だけに注目すればいいのですか？ 

疑問もっともです。
でも、こう考えてください。
t^2-t+x^2/2 = 0 という２次方程式を考え、
「y,zは実数だから判別式≧０」とした時点で、確かに注目しているのは「y,zが実数」ということだけのように見えます。
がしかし、ここで「xは実数」ということも暗黙の了解として使っているんです。
分かりますか？
2次方程式の判別式を考えるとき、その2次方程式の係数は実数でなければなりません。つまり、「xは実数」として考えている訳です。
もし、「xが虚数」ならその時点で、y,zが実数になるには？って考えても無意味ですよね。

zabuzaburo · Answer

非常に重要なご質問だと思います。
取り得る値の範囲というものを深く掘り下げる必要があります。
最初に言っておくとすれば、キーワードは「存在する」という数学用語です。

もっと単純な問題で考えてみましょう。

●xが全ての実数値を取り得るとき、y = x^2 - 2x + 3の取り得る値の範囲を求めよ。

これは y = (x - 1)^2 + 2 と平方完成して
「頂点(1, 2)・軸『x = 1』・下に凸」のグラフを描けば「y ≧ 2」
という答は出ます。
この答を見れば、
「例えば3は値域に含まれるが、1は値域に含まれない」
といったことが分かりますが、
この「3」と「1」との差別は一体どこから来るのでしょう？

これを調べるために、
再び値域が求まっていない状態に立ち戻って、
「『3』は値域に含まれるか？」
「『1』は値域に含まれるか？」
を個別に調べてみることにします。

まず、y = 3となることがあるかどうか？
これは「x^2 - 2x + 3 = 3」という方程式を解いてみれば良いですね。
実際に解いてみると「x =0, 2」となりますから、
次のように答えることができます。

Q「『3』は値域に含まれるか？」
A「はい、含まれます」
Q「本当にそうか？実際にyが3となるのはどんなときか、
示してもらわないことには信用できないな」
A「はい、x = 0 のとき y = 0^2 - 2×0 + 3 = 3 となりますし、
ついでに x = 2 のときも y = 2^2 - 2×2 + 3 = 3 となりますから、
確かに『3』は値域に含まれます」

これに対し、「1」はどうか？
今度は「x^2 - 2x + 3 = 1」を解くと、
「x = 1 + i, 1 - i」となります。
すなわち、y = 1となるようにしたければ
xに虚数でも入れない限り不可能で、
yを1にするような実数xは存在しないことが分かります。

結局、「ある値『k』が値域に含まれるかどうか？」というのは、
「『x^2 - 2x + 3 = k』となるような実数xが存在するかどうか？」
にかかっている、ということが分かります。
ここに「存在する」という数学用語が登場します。
すなわち、この問題は

●「x^2 - 2x + 3 = k」となるような実数xが存在する……(*)
という、この(*)が成り立つためにkが満たすべき条件　
を求めよ。

と言い換えることができるわけです。(*)の部分はすなわち
「x^2 - 2x + 3 = k」という方程式が実数解を持つ
ということですから、この問題では判別式を使って値域が求まるのです。

ただ単に「xは実数だから」という表現だけでは、
それでなぜ値域が求まることになるのか、
super_marioさんがよく分からないと感じるのは当然です。
値域を求めるという問題の本質的な構造が
このような「存在条件」であるということを、
徹底的に理解する必要のある段階に到達しておられるようです。

hinebot · Answer

>なぜ、「y,zは実数だから判別式≧０」から「xのとりえる値の範囲」が求まるのかということです。y,zが実数だから判別式≧０とやってなんらかしらのxの範囲が出てくるとは思うのですが、それがxの何を意味しているのかがちょっと分からないのです。 

まず、「y,zが実数だから判別式≧０」はＯＫですか？
この条件からｘの範囲が求まりましたよね。
逆に考えると、ｘがその範囲外だと、判別式＜０となり、y,zは虚数になってしまいます。（∵y,zを解とする2次方程式を考えたのだから）
これじゃ、納得いきませんか？

Nandayer · Answer

解法そのものは理解しているが、「実数をとりえる範囲を答えるのに、なぜ２次方程式なんか考えるのだろう？」という疑問をお持ちなのでしょう。そういう解釈でお答えします。

　確かに、知らないで思いつくような解法ではないと思います。私なんか最初、こんなので答えになるのか？と思った覚えがあります。
　数学の解答は論理的でなければなりませんが、論理を追って考えれば問題が解けるかというと、そうとは限りません。だから数学は、難しかったり、面白かったりするのだと思います。
　他の例で言うと、幾何の証明問題の補助線でしょう。ある程度納得のいく補助線もありますが、「なぜ、そんなところに線を引くのだ！」と思うような補助線もあります。そんな疑問には「そうするとうまくいくから」としか答えてもらえません。

　正攻法、つまり最初から順序立てて考えても解けないときは、
　　　・答えがわかったとしたら、どんなことが成り立つかを考える。
　　　・結論を導くためには、どんなことが成り立ってほしいかをさかのぼって考え、
　　　　前提から導かれる結果とつなげる。
　　　・別の問題に言い換えて考える。
　　　　（ ANo.#1 さんや ANo.#3 さんは図形の問題に言い換えて説明されています。） 
などを考えるとよいと言われています。他にもあるのでしょうが、私に思いつくのはこんなところです。

　以上、回答がずれていたらすみません。

kony0 · Answer

全然別解で、かつご質問の意図とは全く違いそうなのですが・・・
図形的にいうと、球を平面で切断していることになります。
球の中心（＝原点）と切断面（y+z=1)との距離は、点と平面の距離公式を使うとh=1/(√2)ですから、切断してできる円の半径は{√(1-h^2)} = 1/√2 です。
しかも、この平面はx軸に平行ですから、xのとりえる値の範囲は-1/(√2)<=x<=1/(√2)でOKでしょう。
ちなみに、yおよびzのほうは、いずれも-1/2～1/2の間で動きます。これは、たとえば切断面を、これに垂直な方向に見ればイメージつかめるかと思います。

ADEMU · Answer

Ｘ＾２＋Ｙ＾２＋Ｚ＾２＝Ｘ＾２＋（Ｙ＋Ｚ）＾２－２ＹＺ＝Ｘ＾２＋１－２ＹＺ＝１より
Ｘ＾２＝２ＹＺ＝２Ｙ（１－Ｙ）
２Ｙ（１－Ｙ）＞＝０であるから
１＞＝Ｙ＞＝０
Ｘ＾２＝２Ｙ（１－Ｙ）のとる範囲を考えると
０＜＝Ｘ＾２＜＝１／２
よって
-√(1/2)<=Ｘ<=√(1/2)

hinebot · Answer

y+z=1 …(1)
x^2 + y^2 + z^2=1 …(2)

(1)から z=1-y これを(2)に代入して
x^2+y^2+(1-y)^2 =1 
って、普通やってしまいそうですよね。ちょっと続けてみましょうか。
x^2+(2y^2-2y+1) =1
ここで√2y = u とおくと、
x^2+(u^2-√2u+1) =1
x^2+(u-√2/2)^2 = 1/2
これは点(0,√2/2)を中心とする半径1/√2(=√2/2)の円を表します。
つまり、上記円周上の点が条件を満たすことになります。
よってxの範囲は -√2/2≦x≦√2/2 となる。

もちろんこの方法でも良いと思いますが、解説の場合、y+z があるので、yzを
求めて2次方程式に帰着させようとしているわけです。
(1)の両辺を2乗すると
y^2+2yz+z^2 = 1
これと(2)から、yzを xで表すことができます。 そう、yz=x^2/2ですね。
そこで、y,zを解にもつ新しい変数tについての2次方程式は、解と係数の関係から
t^2-t+x^2/2 = 0
となります。y,zは実数だから判別式≧０です。
これで、xの範囲が求まるわけです。
判別式= 1-4×x^2/2 = 1-2x^2　≧0
すなわち、2x^2-1 =(√2x+1)(√2x-1)≦0
∴-√2/2≦x≦√2/2　となり、上で求めた結果とも一致します。

つまり、実数⇒２次方程式の判別式　へなんとかこじつけようとしたと考えてください。

お聞きになりたいのは、こういうことではないかもしれませんが…。

xのとりえる値の範囲

No.6で述べた基本に沿って、ご質問の問題ではどうなるのか、

zabuzaburoさんが2回に渡り詳しく解説されているので、蛇足かも知れませんが。

非常に重要なご質問だと思います。

>なぜ、「y,zは実数だから判別式≧０」から「xのとりえる値の範囲」が求まるのかということです。

解法そのものは理解しているが、「実数をとりえる範囲を答えるのに、なぜ２次方程式なんか考えるのだろう？」という疑問をお持ちなのでしょう。

全然別解で、かつご質問の意図とは全く違いそうなのですが・・・

Ｘ＾２＋Ｙ＾２＋Ｚ＾２＝Ｘ＾２＋（Ｙ＋Ｚ）＾２－２ＹＺ＝Ｘ＾２＋１－２ＹＺ＝１より

y+z=1 …(1)

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