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図形の問題の求め方を教えてください!
実数aに対し、xy平面上の放物線C : y=(x - a)^2-2a^2 +1を考える 。
(1) aがすべての実数を動くとき、Cが通過する領域を求め、図示 せよ 。
( 2 ) aが-1≦a≦1の範囲を動くとき、cが通過する領域を求め、図示せよ 。

gooドクター

A 回答 (5件)

ay平面のグラフです。

「図形の問題の求め方を教えてください! 実」の回答画像5
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(2)ay平面上のy=f(a)=-(a+x)^2+2x^2+1を考えます。

この2次曲線は(-x.2x^2+1)を頂点とする、上に凸の左右対象の曲線です。
ここで、-1≦a≦1の範囲で、yの範囲を求めるのですが、頂点の位置によって(つまりxの値によって)、yの最大値、最小値が変わります。
具体的には、頂点が-1≦a≦1の時は、yの最大値は頂点のy座標になり、yの最小値はf(-1)またはf(1)の小さい方になります。
したがって、x<-1のとき、f(-1)≦y≦f(1)、-1≦x<0のとき、f(-1)≦y≦f(-x)、0≦x<1のとき、f(1)≦y≦f(-x)、1≦xのとき、f(1)≦y≦f(-1)となり(図形の左右が逆になることに注意)、これにf(1)=x^2-2x、f(-1)=x^2+2x、
f(-x)=2x^2+1を代入してグラフを書いてください。
「図形の問題の求め方を教えてください! 実」の回答画像4
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(1)単純に式を変形して、y=-(α+x)^2+2x^2+1なので、αが実数ならば、y≦2x^2+1ですよね。

(αについての判別式でも平方完成でも同じことです。)
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(1)


例えば (x,y)=(1,3) を通過するかを考えると
3=(1 - a)^2-2a^2 +1 より a^2+2a+1=0 となってa=-1が解なので
y=(x + 1)^2-1 が (x,y)=(1,3) を通過することが分かります

同様に (x,y)=(0,3)を考えると
3=(0 - a)^2-2a^2 +1 より a^2+2=0 となって実数解がないので
aがすべての実数を動いても通過しないことが分かります

したがって(x,y)=(p,q)を通過することは
q=(p - a)^2-2a^2 +1 をaについての二次方程式と考えて実数解を持つことと同じです
判別式≧0 の条件からp,qの不等式が得られます

(2)
(1)より、q=(p - a)^2-2a^2 +1 をaについての二次方程式と考えて-1≦a≦1の範囲で実数解を持つことと同じとなるので
式を整理した結果より f(a)=a^2+2pa+q-p^2-1 とすると
f(a)=0 が-1≦a≦1の範囲で実数解を持つことの条件として

f(-1)*f(1)で場合分けすると
f(-1)*f(1)≦0 のとき 他の条件なし(基本的に一つの解が範囲内)
f(-1)*f(1) > 0 のとき
-1≦-p≦1 かつ f(-p)≦0 かつ f(-1) > 0 (基本的に二つの解がともに範囲内)

となると思います
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こんな感じでしょうか?

「図形の問題の求め方を教えてください! 実」の回答画像1
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