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f(z)=1/(z^2-1)
について、C={|z||z+1|=r}の範囲でのローラン展開を導くまでを教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

  • 補足致します。
    範囲は0<|z+1|<2です。

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2023/07/31 12:47
  • どうかmtrajcp様、お答えして頂けないでしょうか。
    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2023/08/01 05:52
  • 補足で画像に関して質問がございます。
    0<|z+1|<2の時、z=-1の時とz=1の時において、
    「z=-1は{z:|z+1|=r}の要素ではありません」、
    「z=1は{z:|z+1|=r}の要素ではありません」、
    と書いてありますが、要素がないって事はz=-1とz=1は{z:|z+1|=r}の要素に含まれていないため、a(n)の式は0になるという事でしょうか?

    あるいは、z=-1とz=1は{z:|z+1|=r}の要素に含まれていないため、a(n)の式が導けるわけでしょうか?

    正直、「{z:|z+1|=r}の要素」という文章の意味がいまいち理解できていません。
    ちゃんと理解したいので、どうかもう少し噛み砕いてわかりやすく「{z:|z+1|=r}の要素」の文章を詳しく説明して頂けないでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

    「f(z)=1/(z^2-1) について、」の補足画像3
      補足日時:2023/08/01 11:40
  • 追加で申し訳ありません。

    こちらの画像について質問があります。
    こちらの画像はz→-1の時に関する質問なのに、
    一つ前の補足に載せさせて頂きました画像に書いてある回答ではz=-1の時だけではなく、z=1の時の解説も含まれているのはなぜでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

    「f(z)=1/(z^2-1) について、」の補足画像4
      補足日時:2023/08/01 13:32
  • 度々申し訳ありません。

    どうか|z+1|<2の時のn≧-1時とn≦-2の時の解説もお願い致します。

    お時間のある時で構いませんので、補足の質問にも答えてくださるとありがたいです。

    mtrajcp様、どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2023/08/03 00:49
  • 度々失礼致します。


    WolframAlphaで画像のように式f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開したところ、
    f(z)=-1/{2(z+1)}-1/4*Σ[k=0,∞](z+1)^k/2^k
    と出てきたのですが、

    f(z)=-1/{2(z+1)}-1/4*Σ[k=0,∞](z+1)^k/2^k
    の式と載せさせて頂きました
    n≧-1の時の
    f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-1~∞}{-1/2^(n+2)}(z+1)^n
    の式は同じでしょうか。

    仮に異なる式の場合はどちらが正しい式なのでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

    「f(z)=1/(z^2-1) について、」の補足画像6
      補足日時:2023/08/03 01:18
  • mtrajcp様、

    f(z)=1/(z^2-1)
    の|z+1|>2の時かつn≧-1の時あるいはn≦-2の時の場合わけを教えて頂けないでしょうか。

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2023/08/12 14:43

A 回答 (7件)

図の通り


f(z)=1/(z^2-1)

0<|z+1|<2
の時の
z=-1
を中心とする、ローラン展開を
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z+1)^n
とした時
n≦-2の時a(n)=0
n≧-1の時a(n)=-1/2^(n+2)
「f(z)=1/(z^2-1) について、」の回答画像11
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

出来ればf(z)=1/(z^2-1)
の|z+1|>2の時かつn≧-1の時あるいはn≦-2の時の場合わけを教えて下さい。

お礼日時:2023/08/11 12:55

(#8の最後の行に書いてある通り)



f(z)=1/(z^2-1)

z=-1
を中心とする、ローラン展開は

1/(z^2-1)
=
Σ_{n=-1~∞}{-1/2^(n+2)}(z+1)^n
=
-1/{2(z+1)}-1/4-(z+1)/8-(z+1)^2/16-(z+1)^3/32-(z+1)^4/64-(z+1)^5/128-(z+1)^6/256-(z+1)^7/512-(z+1)^8/1024-(z+1)^9/2048-…………………
「f(z)=1/(z^2-1) について、」の回答画像10
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この回答へのお礼

mtrajcp様ありがとうございます。
ちなみに、|z+1|<2の時のn≧-1時とn≦-2の時の解説もお願いできないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2023/08/10 22:14

f(z)=1/(z^2-1)



0<|z+1|<2
での
ローラン展開
f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z+1)^n
1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z+1)^n

↓両辺に(z+1)をかけると

1/(z-1)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z+1)^(n+1)

z→-1のとき左辺は収束するから右辺も収束しなければならない
n≦-2 のとき
a(n)≠0と仮定すると
lim_{z→-1}a(n)(z+1)^(n+1)=∞
右辺が発散するから左辺が収束する事に矛盾するから

n≦-2のとき
a(n)=0
だから

f(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z+1)^n

1/(z^2-1)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z+1)^n

1/(z^2-1)=a(-1)/(z+1)+a(0)+a(1)(z+1)+a(2)(z+1)^2+…+a(n)(z+1)^n+…

↓両辺に(z+1)をかけると
1/(z-1)=a(-1)+a(0)(z+1)+a(1)(z+1)^2+a(2)(z+1)^3+…+a(n)(z+1)^(n+1)+…

↓n≧-1のとき
↓n+1回微分すると

(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=a(n)
↓左右を入れ替えると

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}

{1/(z-1)}'=-1/(z-1)^2
{1/(z-1)}"=2/(z-1)^3
{1/(z-1)}"'=-3!/(z-1)^4
{1/(z-1)}""=4!/(z-1)^5

(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
だから

n≧-1のとき

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=-1/2^(n+2)


1/(z^2-1)
=
Σ_{n=-1~∞}{-1/2^(n+2)}(z+1)^n
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

あの、|z+1|>2の時のn≧-1時とn≦-2の時の解説もお願い致します。

お時間のある時で構いませんので、補足の質問にも答えてくださるとありがたいです。

mtrajcp様、どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2023/08/01 18:09

f(z)=1/(z^2-1)


とすると
lim_{z→-1}(z+1)f(z)=lim_{z→-1}1/(z-1)=-1/2
だから
f(z)=1/(z^2-1)

z=-1で1位の極をもつから

f(z)=1/(z^2-1)

0<|z+1|<2
での
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z+1)^n
1/(z^2-1)=Σ_{n=-1~∞}a(n)(z+1)^n
1/(z^2-1)=a(-1)/(z+1)+a(0)+a(1)(z+1)+…+a(n)(z+1)^n+…
↓両辺に(z+1)をかけると
1/(z-1)=a(-1)+a(0)(z+1)+a(1)(z+1)^2+…+a(n)(z+1)^(n+1)+…
↓n+1回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=a(n)
↓左右を入れ替えると

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}

{1/(z-1)}'=-1/(z-1)^2
{1/(z-1)}"=2/(z-1)^3
{1/(z-1)}"'=-3!/(z-1)^4
{1/(z-1)}""=4!/(z-1)^5

(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
だから

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=-1/2^(n+2)


1/(z^2-1)
=
Σ_{n=-1~∞}{-1/2^(n+2)}(z+1)^n
=
-1/{2(z+1)}-1/4-(z+1)/8-(z+1)^2/16-(z+1)^3/32-(z+1)^4/64-(z+1)^5/128-(z+1)^6/256-(z+1)^7/512-(z+1)^8/1024-(z+1)^9/2048-…………………
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この回答へのお礼

本当にありがとうございます!

あの、気になる事があるのですが、
0<|z+1|<2の時にn≧-1とn≦-2の場合分けはないのでしょうか?
もしある場合はn≧-1とn≦-2の場合分けも書いて頂けないでしょうか。

また、|z+1|>2の時のn≧-1とn≦-2の場合わけは存在しないのでしょうか?

お忙しい中申し訳ありませんが、どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2023/08/01 11:29

> 範囲は0<|z+1|<2です。


 「範囲」が
  C={|z||z+1|=r}
から
  0<|z+1|<2
に変わった理由は何か。
 そもそもローラン展開における「範囲」とは何か。
 2つの特異点と、「範囲」0<|z+1|<2 とはどういう関係になるのか。

 https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13373088.html
でさんざんやったQ&Aは何の役にも立たなかったのか。
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「C={|z||z+1|=r}の範囲」とはどのような「範囲」なのか.



集合の記法を理解するところに戻るべきかもよ.
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おお、久しぶりにミスターローラン展開が出てきたかwwwwwwwwwwwwwwwwwww


 せめて

> C={|z||z+1|=r}の範囲

を図示してくれないと、誰も相手しないと思うぞwww
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この回答へのお礼

図示?

お礼日時:2023/07/30 08:30

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