複素積分 留数について質問です。 f(z)=1/((z-1)z(z+2)) に対して、閉曲線|z-1

複素積分 留数について質問です。

f(z)=1/((z-1)z(z+2)) に対して、閉曲線|z-1|=2を反時計回りに回る経路で ∫ f(z)dz を求める際、まずz=0とz=1の留数を求めると思います。

この場合、z=1の留数は、0<|z-1|<1 でのローラン展開の係数となると思いますが、なぜ 1<|z-1|<3 でのローラン展開の係数では駄目なのでしょうか？係数の値は一致しませんでした。

ご教授お願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/29 12:17

「円環領域のローラン展開の係数では留数定理は適用できない」と自分なりに理解したのですが、円環領域でも留数定理は適用できるということでしょうか？

1<|z-1|<3 でのローラン展開はｚ＝0やｚ＝1の近所では収束しないから
この円環領域でのローラン展開は留数定理とは直接関係しないです。

「1<|z-1|<3 でのローラン展開のz=1での留数と、0<|z-1|<1 でのローラン展開のz=0とz=1での留数の和が一致するのは何故なのでしょうか？

まず留数定理によって
表題の|z-1|=2での線積分は
2πｉ×(ｚ＝0における留数＋ｚ＝1における留数)
がなりたちます。
一方で、|z-1|=2は1<|z-1|<3 でｆ(ｚ)に収束するローラン展開①
の収束範囲にすっぽり入っているからこのローラン展開の各項を
項別積分することで
表題の|z-1|=2での線積分＝2πｉ×①のローラン展開の(ｚ-1)^-1
の項の係数、となります。したがってご指摘の結果となります。

この回答へのお礼

何度も答え頂きありがとうございました。とても助かりました。

お礼日時：2023/05/30 22:31

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/27 19:02

ただ、閉曲線|z-1|=2にそう線積分が 1<|z-1|<3 でのローラン展開

を使ってはできないということではないです。
というのは 1<|z-1|<3 にこの閉曲線が含まれているので
1<|z-1|<3 でのローラン展開の（ｚ-1)^-1の係数が-1/6に注意して
ただちに積分値が2πｉ･-1/6＝－πｉ/3と出てくるからです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。返信が遅くなってしまい申し訳ございません。

「円環領域のローラン展開の係数では留数定理は適用できない」と自分なりに理解したのですが、円環領域でも留数定理は適用できるということでしょうか？

また、1<|z-1|<3 でのローラン展開のz=1での留数と、0<|z-1|<1 でのローラン展開のz=0とz=1での留数の和が一致するのは何故なのでしょうか？

お手数おかけして申し訳ございません。ご教授お願い致します。

お礼日時：2023/05/28 20:16

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/26 21:27

「帯状の領域で収束するだけでz=1の近所では収束しない」とはどういうことなのでしょうか？それは 0<|z-1|<1 を考えた場合とは違うのでしょうか？

1<|z-1|<3 で収束するローラン展開はそれ以上収束円環を
ひろげることはできないです。なぜかというともしそれができるなら
特異点である0あるいは-2がその円環に含まれることになり
ローラン展開はその収束円環内で正則だから矛盾です。
したがって、
1<|z-1|<3での展開と 0<|z-1|<1での展開とは違うものです。
またそのために1<|z-1|<3での展開に留数定理が使えない。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/26 17:50

ｚ＝1の留数はｚ＝1での近傍で収束するようなローラン展開の

(ｚ-1)^-1の係数です。だから 1<|z-1|<3 でのローラン展開は
この帯状の領域で収束するだけで
ｚ＝1の近所では収束しないから留数定理は使えません。
これは留数定理の証明を見直すとわかると思う。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

証明を見直したら、確かに留数定理は円環領域ではなく円領域で成り立つ定理でした。ありがとうございました。

1点質問なのですが、「帯状の領域で収束するだけでz=1の近所では収束しない」とはどういうことなのでしょうか？それは 0<|z-1|<1 を考えた場合とは違うのでしょうか？

お礼日時：2023/05/26 18:07