以前ローラン展開において質問して回答をいただいたのですが、その回答について疑問がございます。 「i)

以前ローラン展開において質問して回答をいただいたのですが、その回答について疑問がございます。

「i)
の時には
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzの式を
使っても
使わなくても
どちらでも
anが求められる
といっているのです

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
を使う
i)の時の
a(n)の
求め方は以下の通り

整数n≧0
自然数k
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

m=n-kとすると
m≧-k
m+k=nだから

a(m)=(1/(m+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){f(z)(z-c)^k}

mをnに置き換えると
n≧-k

a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}

θ=z
f(θ)=sinθ/cosθ
c=π/2
とすると
θ=π/2はf(θ)の1位の極だから
k=1
だから

a(n)=(1/(n+1)!)lim_{θ→π/2}(d/dθ)^(n+1){(θ-π/2)f(θ)}

(n≧-1)」
について、m=n-kと置いたはずなのに、なぜmをnに置き換えた際にm≧-kはn≧-kとなるのでしょうか？
というのもmをn-kと置いたため、m≧-kはn-k≧-kとなるのではないかと考えた為です。



また、画像の黄色の下線部より、
なぜ0<r<πかつn≦-2ではf(θ)=sinθ/cosθのanの式は0になるのでしょうか？
ちなみに、範囲0<r<πはどうやって作ったのでしょうか？

ちなみに、f(θ)=sinθ/cosθにおいてπ<rかつn≦-2あるいはn≧-1の時はanやローラン展開の式を持たない事を証明して頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 一つ目の質問について
  「m=n-kとすると
  m≧-k
  m+k=n」の部分よりmはn-kでありnはm+kなのに、なぜmがnと置けたのか理由がわかりません。

    補足日時：2022/06/25 16:27

• また、
  
  整数n≧0
  自然数k
  m=n-kとすると
  m≧-k
  m+k=nだから
  
  において、
  m≧-k
  となる理由もわかりません。
  
  どうか教えて下さい。よろしくお願い致します。

    補足日時：2022/06/25 16:32

• 度々すいません。
  「ローラン展開
  f(θ)=sinθ/cosθ=-1/(θ-π/2)+…」
  において、-1/(θ-π/2)+…の部分はどうやって求めたのでしょうか？

    補足日時：2022/06/25 17:14

• 出来れば以下の質問にも答えて頂けると嬉しいです。
  
  
  
  整数n≧0
  自然数k
  m=n-kとすると
  m≧-k
  m+k=nだから
  
  において、
  m≧-k
  となる理由もわかりません。
  
  どうか教えて下さい。よろしくお願い致します。

    補足日時：2022/06/26 03:31

• mtrajcp様、解答ありがとうございます。
  
  過去の解答を読み返して別に疑問が湧いたのですが、なぜ|z-π/2|<πの時にg(z)は正則なのか、g(z)の式に具体的な値を代入して正則である事を説明して頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/06/26 21:28

• もう一つあるのですが、n+2位のn+2はどこから出てきたのでしょうか？どうかわかりやすく教えて下さい。
  よろしくお願い致します

  
    補足日時：2022/06/26 22:11

• 最後に、画像のようにaの部分にあたる部分が0の場合は
  f(θ)
  =-1/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)+…
  は画像の青い下線部の式になるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/06/27 04:32

• ありがとうございます。
  
  なるほど、ではa=0を代入する前の画像の緑の下線部の式に|θ-π/2|<π
  でのa=π/2を代入すれば、(a=0の時はマクローリン展開になりますが、代入するaが0以外ならテイラー展開(ローラン展開のnが正の範囲での式)となるため)
  f(θ)=-1/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)+…の式になるのでしょうか？
  
  今更で申し訳ないのですが、
  |θ-π/2|<πはどうやって作られたのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/06/27 11:41

• |θ-π/2|<πに関しては以前に他の式でローラン展開した際に、(ローラン展開は分母が0になるような特異点で展開される式なので)ローラン展開したい式の分母を参考に
  |z-1|<rを作ったため、半径rは角度で言うπであるため、今回ローラン展開したい式の分母はθ-π/2であるため、|θ-π/2|<πと作れたのだと推測しています。
  
  ちなみに、なぜπ<|θ-π/2|はないのでしょうか？
  また、なぜ0<|θ-π/2|<πはないのでしょうか？
  
  最後に特異点と極の違いを簡単に分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/06/27 12:12

• ありがとうございます。
  あの、画像の紫の下線部はθを含んでいますが、θの値はわかりませんが、その部分も発散するのでしょうか？
  あるいは、式f(θ)のtan aのみが発散するためf(θ)自体が∞になるわけでしょうか？
  違う場合はtan a以外の式がどのように発散するのか具体的な計算を教えて頂きたいです。
  
  また、仮にa=0の時、π/2<|θ|だった場合、
  f(θ)の式はどんな式になるのでしょうか？
  
  最後にtanθをテイラー展開を利用してローラン展開出来ないでしょうか？

  
    補足日時：2022/06/27 17:27

No.20 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/28 16:56

n≦-2の時

z≠π/2の時　g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
z=π/2の時　g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)

0<|z-π/2|<πで
tan(z)=sin(z)/cos(z)
の
分母cos(z)は0にならないから
正則だから
g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
も正則
z=π/2の時
n=-2の時
g(π/2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)
=-1

n≦-3の時
g(π/2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=0

だから
g(z)は|z-π/2|<πで正則


また、n≧-1の時、
黒い下線部の式に試しにn=-1を代入した際に
g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は
g(z)=tan(z)(z-π/2)^0
g(z)=tan(z)
になり
この式
tan(z)=sin(z)/cos(z)
は
z=π/2の時分母cos(z)=cos(π/2)=0となるので
z=π/2は特異点(極)になるのです
g(z)は特異点（極)z=π/2を持つのです、
n=-1の時は特異点z=π/2を持っているのです

tan(z)=sin(z)/cos(z)
は
z=π/2でk=1位の極を持つのです
k=1
n=-1の時
k=1=-1+2=n+2
になります

n≦-2の時
z≠π/2の時　g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
z=π/2の時　g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
で
g(z)はz=a=π/2で正則だから
z=a=π/2
と
できる

tan(z)=sin(z)/cos(z)
は
z=π/2で定義できないから
a=π/2の時は
z≠a=π/2

a=0の時は
z=a=0
とできる

この回答へのお礼

ありがとうございます。新しく質問を立てたのですが念のためにこちらにも書かせて頂きます。

以前、線形代数からフーリエ級数展開を導く上で
式v=(v, e1)e1+(v, e2)e2+…+(v,en)en+…を導いたのですが、どうやって式v=(v, e1)e1+(v, e2)e2+…+(v,en)en+…を導いたのでしょうか？
過程の計算を教えて下さい。

お礼日時：2022/06/29 19:45

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/28 15:51

n≦-2の時に関して、

z≠π/2の時　g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
z=π/2の時　g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)

0<|z-π/2|<πで
tan(z)=sin(z)/cos(z)
の
分母cos(z)は0にならないから
正則だから
g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
も正則
z=π/2の時
n=-2の時
g(π/2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)
=-1

n≦-3の時
g(π/2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=0

だから
g(z)は|z-π/2|<πで正則

また、n≧-1の時、
黒い下線部の式に試しにn=-1を代入した際に
g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は
g(z)=tan(z)(z-π/2)^0
g(z)=tan(z)
になり
この式
sin(z)=sin(z)/cos(z)
は
z=π/2の時分母cos(z)=cos(π/2)=0となるので
z=π/2は特異点(極)になるのです
g(z)は特異点（極)z=π/2を持つのです、
n=-1の時は特異点z=π/2を持っているのです

tan(z)=sin(z)/cos(z)
は
z=π/2でk=1位の極を持つのです
k=1
n=-1の時
k=1=-1+2=n+2
になります

k=a
などとはどこにもかいてありません

この回答へのお礼

ありがとうございます！
すごくわかりやすいです。

なるほど、
「z=π/2の時　g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)」について、ローラン展開は分母が0になる特異点で展開されるが、tan(z)のcos(z)にz=π/2を代入したら式が成り立たないため、分母が0となる特異点でローラン展開するためにg(π/2)の式にlim_{z→π/2}を加えたことが分かりました。

ちなみに、
「この式
sin(z)=sin(z)/cos(z)」は正しくは
「この式
tan(z)=sin(z)/cos(z)」でしょうか？

すいません。私の勘違いでした。
k=aではなく正しくはz=aです。
ちなみになぜz=aと置けるのでしょうか？

お手数をおかけするのですが、補足のストックが切れてしまったので、今後の回答は今回の質問の投稿の方に頂けると助かります。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/06/28 16:40

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/28 10:31

|θ-a|<π/2-|a|…(1)

とする

θ=θ-a+a
だから
|θ|=|θ-a+a|…(2)
が成り立つ

3角不等式の公式|A+B|≦|A|+|B|から
|θ-a+a|≦|θ-a|+|a|
↓これと(2)から
|θ|≦|θ-a|+|a|…(3)

(1)から
|θ-a|<π/2-|a|
↓両辺に|a|を加えると
|θ-a|+|a|<π/2
↓これと(2)から
∴
|θ|<π/2
だから

|a|<π/2
と
|θ-a|<π/2-|a|
から
|θ|<π/2
がいえるから

|a|<π/2
と
|θ-a|<π/2-|a|
だけで十分です
------------------------
a=0で
π/2<|θ|
の場合は
もし
θがa=0にちかづけて
θ=a=0
とできると仮定する
θ=0
↓これをπ/2<|θ|に代入すると

0<π/2<|0|=0
0<π/2<0
0<0
となって矛盾するから
θは0=aに近づくことができません

a=0で
π/2>|θ|
の場合は
(図の赤長方形で囲まれた部分の通り)
tanθは
テイラー展開
(マクローリン展開)
できます

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 21:24

展開式が(θ-a)^nの級数となっているために

級数の収束半径Rが存在して
|θ-a|<R
となる
θに対して級数が収束するから

|a|<π/2
|θ|<π/2
となる
θに対して級数が収束するとは限らないのです

訂正です
|θ-a|<π/2-a
かつ
|θ-a|<a+π/2
ではなく

|θ-a|<π/2-|a|
に
します

|θ-a|<π/2-|a|
ならば
|θ|≦|θ-a+a|≦|θ-a|+|a|<π/2-|a|+|a|=π/2
が
成り立つから

|θ-a|<π/2-|a|
と
したのです

a=0で
π/2<|θ|
の場合は
θがa=0に近づくことができないので
テーラー展開はできません

特異点を持たない式
は
テーラー展開できるから
テーラー展開すれば
それが
そのまま
ローラン展開になります

テーラー展開できる所では
「ローラン展開」＝「テーラー展開」
となります

変形は一切必要ありません

この回答へのお礼

なるほど、不等式においては実際の値を入れながら確認すると理解しますいです。

ちなみに、なぜ|θ-a|<π/2-|a|
ならば
|θ|≦|θ-a+a|≦|θ-a|+|a|<π/2-|a|+|a|=π/2
が
成り立つのですか？
また、|θ|≦|θ-a+a|≦|θ-a|+|a|<π/2-|a|+|a|=π/2を作る理由はなんでしょうか？
多分、|a|<π/2
|θ|<π/2か|θ-a|<π/2-|a|の不等式だけで十分な気はしますが。

ちなみに、
「a=0で
π/2<|θ|
の場合は
θがa=0に近づくことができないのでテーラー展開はできません」との事ですが、なぜθがa=0に近づけないのですか？不等式π/2<|θ|を見る限りaは含まれていないためなぜθがa=0に近づけないのかイマイチわかりません。

またa=0で
π/2>|θ|
の場合はテイラー展開出来ないのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/06/27 22:11

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 20:56

|a|<π/2

となるaに対して
aの近傍
|θ-a|<π/2-|a|での
tanθの
テイラー展開の式はそのままで

|a|<π/2
となるaに対して
aの近傍
|θ-a|<π/2-|a|での
tanθの
ローラン展開の式になります

テーラー展開できる所では
「ローラン展開」＝「テーラー展開」
となります

変形は一切必要ありません

a=π/2
の時は
tanθは
テーラー展開できません

a=0
|θ|>π/2
の時も
tanθは
テーラー展開できません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
やはりf(z)=1/(z-1)^2のような式では無いtanθはテーラー展開すればローラン展開した式になるのですね。

ちなみにanは
|θ|<π/2
|a|<π/2
である限り発散しないですが
なぜ
|θ-a|<π/2-a
かつ
|θ-a|<a+π/2のような範囲を作ったのでしょうか？
不等式は|θ|<π/2
|a|<π/2だけでは足りないのでしょうか？
また、どうやって
|θ-a|<π/2-a
かつ
|θ-a|<a+π/2を導いたのでしょうか？

また、|θ-a|<π/2-a
かつ
|θ-a|<a+π/2でのaはa=0でしょうか？

また、「a=0
|θ|>π/2
の時も
tanθは
テーラー展開できません」との事ですが、なぜテーラー展開出来ないのでしょうか？

最後に特異点を持たない式はローラン展開出来ないのでしょうか？

お礼日時：2022/06/27 21:04

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 20:51

|a|<π/2

となるaに対して
aの近傍
|θ-a|<π/2-|a|での
テイラー展開の式はそのままで

|a|<π/2
となるaに対して
aの近傍
|θ-a|<π/2-|a|での
ローラン展開の式になります

テーラー展開できる所では
「ローラン展開」＝「テーラー展開」
となります

変形は一切必要ありません

a=π/2
の時は
テーラー展開できません

a=0
|θ|>π/2
の時も
テーラー展開できません

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 20:39

テイラー展開の式はそのままで

ローラン展開の式になります

テーラー展開できる所はすべてローラン展開と同じになります

変形は一切必要ありません

|θ-a|<min(π/2-a,a+π/2)
は

|θ-a|<π/2-a
かつ
|θ-a|<a+π/2

という意味です

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 20:32

テイラー展開の式はそのままで

ローラン展開の式になります

テーラー展開できる所はすべてローラン展開と同じになります

変形は一切必要ありません

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 19:37

|θ|<π/2

|a|<π/2
である限り発散しません
a=π/2の時tan(a)=∞に発散します

a=0で
π/2<|θ|
の場合は
θがa=0に近づくことができないので
テーラー展開はできません

tanθは
|θ|<π/2
|a|<π/2
|θ-a|<min(π/2-a,a+π/2)
でテーラー展開できて
、ローラン展開と同じになります

テーラー展開できる所はすべてローラン展開と同じになります

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

|θ|<π/2
|a|<π/2
|θ-a|<min(π/2-a,a+π/2)の時、
ローラン展開やanの公式を使わずにテイラー展開を利用してtanθのローラン展開の式を求めるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

また、|θ-a|<min(π/2-a,a+π/2)は初めて見る不等式なのですが、minとは何でしょうか？
|θ-a|<min(π/2-a,a+π/2)はπ/2-a<|θ-a|<a+π/2という事でしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/06/27 19:53

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 16:06

a=0を代入する前の画像の緑の下線部の式

f(θ)=tan(a)+…
に

a=π/2を代入すれば、

tan(a)=tan(π/2)=sin(π/2)/cos(π/2)=1/0=∞
だから

f(θ)=tan(π/2)+…=∞
に
発散します

|a|<π/2でなければ

緑の下線部の式

f(θ)=tan(a)+…
は
成立しません

訂正です
|θ-π/2|<π
ではなく
0<|θ-π/2|<π
です

f(θ)
=-1/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)+…
は
θ=π/2=a
を中心とする
0<|θ-π/2|<π
でのローラン展開
です

tanθ=sinθ/cosθ
は
θ=π/2
で
分母のcosθ=0となるため定義できないので

0<|θ-π/2|

となります

θ=-π/2
または
θ=3π/2
で
分母のcosθ=0となるため定義できないので

0<|θ-π/2|<π=|-π/2-π/2|=|3π/2-π/2|
だから

0<|θ-π/2|<π

となるのです