1/tanx=cosx/sinx ？

ある教育系動画で数学の試験問題の解説を視聴していた時、問題を解いていく過程で、1/tanxをπ/4からπ/2まで積分する式が導出されました。このとき、解説者は、tanxがπ/2では定義されないことが不安ならば、一旦、１/tanxをcosx/sinxに置き換えて書き、計算を進めれば安心だという意味の説明をしていました。
その時はなるほどと思ったのですが、後になって、1/tanxもcosx/sinxも同じことを表しているのだから、そこまで気にする必要があるのかな？と疑問に感じました。
確かに、奇妙と言えるかもしれませんが、1/tanxよりもcosx/sinxと書き換えておいた方が安心できる気もするのですが…。
やはり、解答するときは、一応、書き換えておいた方が無難でしょうか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/31 20:01

１/tan x を cos x/sin x に置き換えたのは、

π/2 で定義されないことが心配だったからじゃなくて
t = sin x で置換積分するためじゃないのかなあ？

１/tan x = 1/(sin x/cos x) = cos x/sin x と変形できるのは
cos x ≠ 0 の場合だけなので、
その書き換えでは、話を誤魔化してるだけでしょう。

本当に心配なら、
π/4 から θ まで(ただし θ < π/2) で積分してから
θ → (π/2)-0 の極限をとればいいです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2024/02/01 20:18

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2024/01/31 17:37

1/tanxがπ/4からπ/2まで積分可能であることを示すためには、

１/tanx＝cosx/sinx　とするのがわかりやすいということですね。

計算問題では特に触れる必要はないと思いますが、解析学で証明しなさいって話になると、積分可能であることを言わないといけないかもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2024/02/01 20:17