｛cos(-2/3π)+i sin(-2/3π)｝^2015 +cos(-2/3π)+i sin(-

｛cos(-2/3π)+i sin(-2/3π)｝^2015
+cos(-2/3π)+i sin(-2/3π)

の途中式をおしえてください。。

No.3 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/23 13:50

cos(－2 /3π)+i sin(－2 /3π)は、括弧が足りないから、

cos(－(2 /3)π)+i sin(－(2 /3)π)またはcos(－2π/3)+i sin(－2π/3)と書かないと
いけない。
この問題は、オイラーの公式を使うと、解ける。
オイラーの公式は、複素変数Zが単位円上を回転するとき、偏角θの位置にいる時のZの値を表す式である。下図を参照。偏角はx軸からの回転角θで表す。点Zのx座標はcosθ、y座標はsinθだから、Zの実数部はcosθ、虚数部はsinθである、
Z =cosθ+isinθ＿①
となるが、これは指数関数z=ｅ^iθを使って
Z=ｅ^iθ=cosθ+isinθ＿②
となる。この式をオイラーの公式という。
θ=0のとき、Zは偏角=０、cosθ=1，sinθ=0で、z=ｅ^0=1で、Zはx軸上にいる。
θ=2πのとき、単位円の一周の偏角は2πだから、cos2π=1，sin2π=0で、
Z=ｅ^2πi=ｅ^0=1＿③
となり、zは円を一周して戻り、θ=0と同じ、x軸上にいる。
問題の式を④とすると、
X={cos(－2π/3)+i sin(－2π/3)}^2015+ cos(－2π/3)+i sin(－2π/3)＿④
この式に現れるθは、偏角θ=－2π/3＿⑤
であり、これは円周をマイナス側に1/3周した値である。
z= cos(－2π/3)+i sin(－2π/3)＿⑥とおくと、
問題の式Xは、X=z^2015+z＿⑦である。
式⑥を3乗すると、偏角θは3倍になり、θ=－2πはx軸からマイナス側に一周した値で、
zはx軸上に戻り、θ=0と同じ位置に戻るので、
z^3=(ｅ^iθ)^3 =ｅ^(iθ✕3) =ｅ^(3iθ) =ｅ^(－2πi) =ｅ^0=1＿⑧である。
2015÷3=671余り2であるから、
2015=671✕3+2＿⑨
z^3=1だから(z^3)^671=1である。
X=z^2015+z¬=(z^3)^671✕ z^2+z = z^2+z＿⑩となる。
z^2の偏角は式⑤のθ=－2π/3の2倍の、偏角－4π/3で、2π/3と同じ位置になるので、
式⑥を二乗すると、z^2= cos(2π/3)+i sin(2π/3)＿⑪となる。
式⑪と⑥を⑩に入れると
X = z^2+z= cos(2π/3)+i sin(2π/3)+ cos(－2π/3)+i sin(－2π/3)
　=－1/2+i√3/2－1/2－i√3/2=－1となる。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/20 01:21

オイラーの公式で解くことができます。

cos(-2π/3)+i sin(-2π/3)=e^i(-2π/3)

{cos(-2π/3)+i sin(-2π/3)}^2015
={e^i(-2π/3)}^2015
=e^i(-4030π/3)
=e^i((-4π-4026π)/3)
=e^i(-4π/3) * e^i(-4026π/39
=e^i(-4π/3) * e^i(-1342π)
=e^i(-4π/3) * e^i{(134)*(-2π)}
=e^i(-4π/3) * {e^i(-2π)}^134
=e^i(-4π/3) * {e^i(0)}^134
=e^i(-4π/3) * 1
=e^i(-4π/3)

{cos(-2π/3)+i sin(-2π/3)}^2015 + cos(-2π/3)+i sin(-2π/3)
=e^i(-4π/3)+e^i(-2π/3)
=e^i(2π/3)+e^i(-2π/3)
=cos(2π/3)+cos(-2π/3)+i sin(2π/3)+i sin(-2π/3)
=cos(2π/3)+cos(2π/3)+i sin(2π/3)-i sin(2π/3)
=-1/2-1/2
=-1

この回答へのお礼

ありがとうございました( ；∀；)

お礼日時：2018/12/31 10:34

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/12/20 00:44

{cos(-2/3 π)+isin(-2/3 π)}³=1

となることから
{cos(-2/3 π)+isin(-2/3 π)}²⁰¹⁵
={cos(-2/3 π)+isin(-2/3 π)}⁻¹
={cos(-2/3 π)-isin(-2/3 π)}
∴与式=2cos(-2/3 π)
=-1

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2018/12/31 10:35