積分

次の曲線で囲まれた部分を、Ｘ軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。ただし、ａ、ｂは正の定数とする。
(1)x=acosθ ｙ＝ｂsinθ ただし0≦Ｘ≦2π

(2)x=cos3乗θ　ｙ＝sin3乗θ　ただし0≦Ｘ≦2π
両方の問題とも途中までできるんですが積分に直すところらへんからよくわからなくなるんです。

No.3 回答者： mmky 回答日時： 2003/01/09 11:48

(2)は漸近化式が必要ですね。

(2)x=cos＾3θ　ｙ＝sin＾3θ, 0≦θ≦2π
準備
y＾2=sin＾6θ
dx=-3cos＾2θsinθdθ
回転体積の公式から
π∫y＾2dx
=-3*4π∫[0～π/2]sin＾7θcos＾2θdθ
ここで,cos＾2θ=(1-sin＾2θ) を利用すると、
=-3*4π∫[0～π/2]sin＾7θdθ+3*4π∫[0～π/2]sin＾9θdθ
=-3*4π*(-16/35)+3*4π(-8/9)(16/35)
=3*4π*(16/35)(1-8/9)=3*4π*(1/9)*(16/35)=64π/105

漸近化
∫[0～π/2]sin＾nθdθ={(n-1)/n}∫[0～π/2]sin＾(n-2)θdθ
だから
∫[0～π/2]sin＾7θdθ=(6*4*2/7*5*3)∫[0～π/2]sinθdθ
=(6*4*2/7*5*3)[-cosθ]0～π/2
=(6*4*2/7*5*3)*(-1)=-16/35
∫[0～π/2]sin＾9θdθ=8*6*4+2/9*7*5*3∫[0～π/2]sinθdθ
=(8*6*4+2/9*7*5*3)*(-1)=-(8/9)(16/35)

やり方の参考程度まで、　係数などは確認してください。

No.2 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/01/09 09:08

どんなやり方でもよければθを消去する方法もあるかと思います。

（１）(x/a)^2+(y/b)^2=1
　　　y^2=　に変形して積分

（２）x^(2/3)+y^(2/3)=1
　　　y^2=｛1-x^(2/3)｝^3

後は積分範囲に気を付けてxで積分
π∫y^2dx

No.1 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/01/09 01:06

いずれも　0≦Ｘ≦2π でなくて　0≦θ≦2π　なのでしょう．

(1）考えている曲線はｘ軸，ｙ軸いずれについても対称なので，
求める体積をVとして，
V＝2π∫_{x=0～a}y^2dx
＝2π∫_{x=0～a}y^2dx
＝2π∫_{θ=π/2～0}y^2(dx/dθ)dθ
＝2π∫_{θ=π/2～0}(bsinθ)^2(-asinθ)dθ
＝2πab^2∫_{θ=0～π/2}sin^3θdθ [sin^3θ＝(sinθ)^3]
あとは　∫_{θ=0～π/2}sin^3θdθ　の部分を　(1-cos^2θ)sinθ　とやるか，t=cosθ の置換積分．

(2)もほぼ同様に出来そうですが，次数が高くなると
∫_{θ=0～π/2}sin^nθdθ の有名積分(公式？)の利用がいいかも．
漸化式くらいは示してから結果を使う方が良いのでしょうね．
(1)と同様にcos^mθ・sinθ　の組合せに分解しても出来そうですが，面倒そう．