x軸をまたぐ場合について考えてます。 それぞれ体積、表面積の立式は合ってますか？ y=b±‪√‬(a

x軸をまたぐ場合について考えてます。
それぞれ体積、表面積の立式は合ってますか？

y=b±‪√‬(a^2-x^2)
x軸との交点 ±‪√‬(a^2-b^2)

立体
y+が作る回転体の体積からy-のx軸対象の式がつくる回転体の体積を引く

表面積
y+が作る表面積とy-が作る表面積

で考えて立式したのですが自身はありません、、
特に、表面積の方の軸をまたぐ問題が調べてもなかったのでよく分かりません

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• Vの方は解決しました。
  Sの方だけどなたかご教授ください。
  よろしくお願いします

    補足日時：2023/05/21 20:34

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/21 20:51

まず、

　a≧b とa<b
の場合に分ける必要があります。前者の場合はx軸との交点
　x=±√‬(a²-b²)
が存在し、y<0 の回転体は y≧0 の回転体に含まれてしまいま
す。

(1)
(a) a≧b のとき
　xがx軸の交点以内なら y=0～b+‪√‬(a²-x²) の回転体は半径
　　b+‪√‬(a²-x²)
　の円なので、面積は
　　π{b+‪√‬(a²-x²)}²
　となる。

　xが交点 の外側の時は、回転体はドーナツの
　端面になり、2つの半径の差による面積は
　　π[{b+‪√‬(a²-x²)}²-{(b-‪√‬(a²-x²))}²]
　　　=4πb√‬(a²-x²)
　となる。

　xの範囲で積分すると体積になり(y軸対象だから) x≧0 の部分
　を2倍すればよい。
　　V=2[ ∫[0→√‬(a²-b²)] π{b+‪√‬(a²-x²)}²dx
　　　　+∫[√‬(a²-b²)→a] 4πb{‪√‬(a²-x²)}dx ]
　となる。

(b) a<b のとき
　x軸との交点は無いから、すべてドーナッツの計算のみとなり
　　V=2[ ∫[0→a] 4πb{‪√‬(a²-x²)}dx ]

(2)
表面積も同様です。面倒なので結果だけ。

(a) a≧b のとき
　S=2[ ∫[0→a] 2π{b+‪√‬(a²-x²)}√{1+x²/(a²-x²)} dx
　　　+∫[√‬(a²-b²)→a] 2π{b-‪√‬(a²-x²)}√{1+x²/(a²-x²)}dx ]
　となる(第２項は裏側に回った面積)。

(b) a<b のとき(0～aにわたり、裏表面がある)
　S=2∫[0→a] 2π[ {b+‪√‬(a²-x²)}√{1+x²/(a²-x²)}
　　　+ {b-‪√‬(a²-x²)}√{1+x²/(a²-x²)} ]dx
　　=2∫[0→a] 4πb√{1+x²/(a²-x²)} dx
　　=8πb∫[0→a] √{1+x²/(a²-x²)} dx
　となる。

この回答へのお礼

返信が遅くなってしまい申し訳ないです。
確認できました
ありがとうございました！

お礼日時：2023/05/25 02:37

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/23 12:20

(青の部分が作る表面積 + 赤の部分が作る表面積)の2倍。

この回答へのお礼

返信が遅くなってしまい申し訳ないです。
図が大変分かりやすかったです
ありがとうございました！

お礼日時：2023/05/25 02:38