区分求積法について

円錐の体積を区分求積法により求めよ。ただし円の面積は既知とする。

そもそも区分求積法がわかりません。上の問題解いていただける方お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/04 17:59

「区分求積法」は、例えば2次元曲線の囲む面積を求めるのに、細かく区分した「長方形」の面積の「和」として概算値を求め、その「区分」をどんどん細かくした極限として、「曲線」で囲まれた面積を求めるようなやり方です。

　つまり「積分」の概念ですね。

↓　参考サイト
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …
http://yosshy.sansu.org/kubunkyuseki.htm

　これを「円錐の体積」に応用する方法は、何通りかあると思います。
　「円の面積は既知」とあるので、円錐を輪切りにして「薄い円柱」で近似して、その円柱の「高さ」をどんどん小さくしていくことで考えましょう。

　底面の円の半径を R 、円錐の高さを H としましょう。円錐の頂点からおろした垂線と、円錐の辺のなす角を θとすると、
　　tanθ = R/H
です。
　高さ H を n 等分すると、頂点からの k 番目の円柱までの距離を x とすると、
　　　x = (H/n) * k
となり、その円柱の半径 r は
　　　r = x * tanθ = (H/n) * k * R/H = k*R/n
と書けます。
　また、円柱の「高さ（厚さ）」は h=H/n です。
　従って、その円柱の体積は
　　　Vk = パイ*r^2 * h
　　　　 = パイ*(k*R/n)^2 * (H/n)
　　　　 = (パイ*H*R^2 /n^3) * k^2
この円柱の体積を k=1～n まで合計すると、「円錐」を「円柱の集合体」で近似した体積が求まります。

　つまり
　　Vn = Σ(k=1~n)[ (パイ*H*R^2 /n^3) * k^2 ]
　　　 = (パイ*H*R^2 /n^3) * Σ(k=1~n)[ k^2 ]
　　　 = (パイ*H*R^2 /n^3) * (1/6)n(n+1)(2n+1)　←2乗和の公式から
　　　 = (パイ*H*R^2 / 6) * (1 + 1/n)(2 + 1/n)
となります。

　これで、ｎ→∞ の極限を取れば、1/n→0 になるので
　　Vn → パイ*H*R^2 / 3
によって、円錐の体積 V は
　　V = パイ*H*R^2 / 3
と求まります。

　分かりづらければ、こんなサイトを参照ください。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …
http://tessy.org/wiki/index.php?%B1%DF%BF%ED%A4% …

この回答へのお礼

ありがとうございます。解決しました！！

お礼日時：2016/02/04 22:10