中3 数学の問題

図のようなグラスの上の部分は円錐の形をした容器とみなすことができます
いまこの容器に2cmの深さまで水が入っています
0.8³がおよそ0.5であることから容積の半分の量の水を入れるときの水の深さを求めなさい

この問題がわかりません！どなたか解説お願いします〜！

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/19 09:10

No.1のスチールウールさんのように、「相似比」で解くのが一番簡単かつスマートですね。

真っ向勝負で、「円錐の体積」でやると、円錐の体積は、底面の円の半径を R 、円錐の高さを H 、円周率を「パイ」として、
　　V = (1/3) × パイ × R^2 × H
です。三角錐の頂角を θ とすると、
　　R = H × tanθ
ですから、
　　V = (1/3) × パイ × H^3 × (tanθ)^2
となり、頂角 θ が同じ円錐の体積は、高さ H の3乗に比例することが分かります。

グラスを満たしたときの深さ H0、体積を V0 とすると
　　V0 = (1/3) × パイ × H0^3 × (tanθ)^2　　　（１）
深さ H1のときの体積 V1 は
　　V1 = (1/3) × パイ × H1^3 × (tanθ)^2　　　（２）

いま、V1 = (1/2)V0 となるのは、（１）（２）より
　　H1^3 = (1/2) × H0^3
のときということが分かります。
「0.8^3 がおよそ0.5」と与えられているので、
　　H1^3 ≒ 0.8^3 × H0^3
　　　　　= ( 0.8 × H0 )^3
よって、
　　H1 ≒ 0.8 × H0
ということです。

　　H0 = 6 (cm)
とおけば
　　H1 ≒ 6 × 0.8 = 4.8 (cm)
です。

この回答へのお礼

別解ありがとうございます…！1番さんの解き方でまずはやってみます！

お礼日時：2015/11/19 17:22

No.1 ベストアンサー 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/11/19 01:41

体積比は相似比の3乗に比例します

例えば、辺が2倍になれば体積は8倍に、辺が3倍になれば体積は27倍になります

今の問題も器の形と水が入っている部分は相似です
相似比を1:xとすると、体積比は1:x^3となります(^は〜乗という意味として下さい)
今、問題より器:水を求めると
1:x^3 = 1:0.5
です
で、問題文に0.8^3=0.5とあるので、x = 0.8です
器の高さが6cmなので、水の深さをyとすると
6:y = 1:0.8
となり、
y = 4.8
と求まります
よって深さ4.8cmとなります

この回答へのお礼

ありがとうございます！とてもわかりやすかったです！

お礼日時：2015/11/19 17:21