大学数学の微積分の問題です。 曲線 y^2=x(logx)^2 x＞0 y^2=0 x=0 のループ

大学数学の微積分の問題です。

曲線

y^2=x(logx)^2 x＞0

y^2=0 x=0

のループで囲まれた部分の面積を求めよ

どなたか教えて欲しいです！

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/05 15:14

y=±(√x)|logx|

で、x軸に対称な図形であり、y²=0 の条件が分からない。また、
x>1 でyは発散するから、xの範囲を 0～1 とする。

yの範囲は分からないが、yの正負も考えるとすれば、y≧0 の範囲の
２倍となる。とりあえず、y≧0 とする。

すると　logx≦0 なので、
　y=-(√x)logx
となる。すると

　∫[0,1] -(√x)logx dx
　　=[-(2/3)x³/²logx][1,0]-∫[0,1] -(2/3)x³/²(1/x)dx
　　=0+(2/3)∫[0,1] x¹/² dx=(2/3)[(2/3)x³/²][1,0]
　　=4/9

ここで、ロピタルの定理から
　xlogx=logx/(1/x) → (1/x)/(-1/x²)=-x → 0 (x → 0)
なので
　x³/²logx=x¹/²(xlogx) → 0 (x → 0)
を使った。