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微分積分についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。
nを1以上の整数として、An = ∫(logx)^ndxとおくと、不定積分を求めてください。また、An = x(logx)^n - n*An-1が成り立つことを示してください。

A 回答 (2件)

部分積分を使って



A(n) = ∫[(logx)^n]dx
= ∫[(x)'・(logx)^n]dx
= x・(logx)^n - ∫{x・[(logx)^n]' }dx
= x・(logx)^n - ∫{x・n(logx)^(n - 1)・(1/x) }dx
= x・(logx)^n - n∫[(logx)^(n - 1)]dx
= x・(logx)^n - n・A(n - 1)

はすぐに求まるでしょう。

A(n) の不定積分は、これを繰り返し行っていけばよいです。
詳しくは下記など。

https://manabitimes.jp/math/1164
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微分積分というより、部分積分の問題のようです。


(log x)^n = 1・(log x)^n と捉えて部分積分を行うと、
A[n] = ∫{ 1・(log x)^n }dx
  = x・(log x)^n - ∫{ x・(d/dx)(log x)^n }dx
  = x・(log x)^n - ∫{ x・{n(log x)^(n-1)}(1/x) }dx
  = x (log x)^n - n ∫{ (log x)^(n-1) }dx
  = x (log x)^n - n A[n-1].
初期条件は、
A[0] = ∫{ (log x)^0 }dx = ∫1dx = x + C ;Cは定数.

漸化式を解くには、両辺を { n! (-1)^n } で割って、
A[n]/{ n! (-1)^n } = { x (log x)^n }/{ n! (-1)^n } + A[n-1]/{ (n-1)! (-1)^(n-1) }.
この式を A[n]/{ n! (-1)^n } の階差が { x (log x)^n }/{ n! (-1)^n } であると見て、
A[n]/{ n! (-1)^n } = A[0]/{ 0! (-1)^0 } + Σ[k=1..n]{ x (log x)^k }/{ k! (-1)^k }
       = (x + C)/1 + x Σ[k=1..n]{ (- log x)^k }/k!,
より
A[n] = { n! (-1)^n }{ x + C + x Σ[k=1..n]{ (- log x)^k }/k! }
  = { n! (-1)^n }{ C + x Σ[k=0..n]{ (- log x)^k }/k! }.
最右辺の Σ は、これ以上整理できそうな気がしません。
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