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久しぶりに微積を復習しています。
e^x = x+1
を満たすxの1つはx=0であることはわかりますが、
それ以外にないことはどうやって示されるのでしょう?
実数の範囲、複素数の範囲で考察する方法を教えていただければと思います。

質問者からの補足コメント

  • ※複素数の範囲については省いて頂いても構いません。
     e^(x+iy):=e^x (cos(y)+i*sin(y))
     と定義します。

      補足日時:2017/11/25 20:57
gooドクター

A 回答 (4件)

論証の趣旨は、f(x)=e^x-x-1の単調性(x≦0では単調減少、0≦xでは単調増加)


を(微分を使って)きちんと言うことがポイントでしょ。
その単調性とf(0)=0を組み合わせて、f(x)=0となるのはx=0に限ると結論付ける形。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
助言をいただいて「単調性」や「極値が1つ」ということは論旨ではないことを再確認できました。(実数の範囲では)x=0がy=0の解の1つなので、y=e^x-(x+1)のグラフがx軸と1点のみで交わることを増減表によって示すのが、今回の技法の本質ですね。

お礼日時:2017/11/27 23:28

複素数の範囲に広げるとe^z=z+1の解の個数は無限にあります。



WolframAlphaによると
z=W_n(-1/e)-1
W_n(z)はランバートのW関数を解析接続したもので、nは全ての整数となります。

ランバートのW関数は
f(W)=W*e^W
の逆関数です。

W_0(-1/2)=W(-1/e)=-1ですのでz=W_0(-1/e)-1=-(-1)-1=0も解の一つとして含まれます。
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この回答へのお礼

>複素数の範囲に広げるとe^z=z+1の解の個数は無限にあります。
そうなんですね。複素関数論はほぼ無知に等しいので、
ランバートのW関数など、私にとっては難解なことが多いです。

それでも、複素数解の空間に0がきちんと含まれていることや、
解が無数にあることなどは、興味深いと思いました。
WolframAlpha onlineによって、関連する記述を拝見することもできました。

お礼日時:2017/11/27 23:37

ごめんなさい誤記があったのに、理解いただけて、たすかりました。


ちなみに、値域を複素平面上にとっても、大丈夫だとおもいます。
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この回答へのお礼

いえ、十分参考になりました。
複素数平面上の議論については
安易には受け止められないので今後の課題です。

お礼日時:2017/11/27 23:24

y=ex^x-x-1



極値を1つしかもたないことと、そのときのxの値が
y=0の解と一致することを証明すれば十分かと思います。
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この回答へのお礼

なるほど、です。
微分をこのように活用するのですね。
y'=e^x-1 より y'=0 ⇔ x=0
増減表よりy=0 ⇔ x=0 qed

明晰な解答に感謝いたします。

お礼日時:2017/11/25 21:49

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