積分（三角関数）の絶対値の外し方について

∫［0,(n+1/2)π］t|cos(t)|dt=∫［0,1/2π］t|cos(t)|dt+Σ［k=1,ｎ］∫［(k-1/2)π、(k+1/2)π］t|cos(t)|dt
というような式変換がありました。（ｋ，nはともに自然数）


どのような式変換でこのような形になったのかがわかりません。
何をしたのでしょうか？

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/12/31 08:23

∫[0,(n+1/2)π]t|cos(t)|dt

=∫[0,1/2π]t|cos(t)|dt+Σ[k=1,ｎ]∫[(k-1/2)π,(k+1/2)π]t|cos(t)|dt
ここまでの式変換は、積分範囲0～(n+1/2)πを
[0.1/2π]
+[(1-1/2)π,(1+1/2)π]=[1/2π.3/2π]
+[(2-1/2)π,(2+1/2)π]=[3/2π,5/2π]
+[(3-1/2)π,(3+1/2)π]=[5/2π,7/2π]
+[(4-1/2)π,(4+1/2)π]=[7/2π,9/2π]
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
+[(n-1/2)π,(n+1/2)π]
に区切っただけですね。

No.2 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/30 20:24

|cos(t)|(0≦t≦nπ+π/2)のグラフを考えれば分かります．（図はn=5のとき）

(1)0≦t≦π/2のグラフ：山の右半分

(2)π/2≦t≦ｎπ+π/2のグラフ：n個の山

(1)に対応する積分が

∫［0,π/2］t|cos(t)|dt=∫［0,π/2］tcos(t)dt=(π-2)/2

で，(2)については，k=1,2,・・・,nとしてk番目の山に対応する積分が

∫［(k-1/2)π、(k+1/2)π］t|cos(t)|dt

このままでは絶対値は外れませんが，変数変換

t=s+kπ(-π/2≦s≦π/2)

を行うと

cos(t)=cos(s+kπ)=cos(s)cos(kπ)-sin(s)sin(kπ)=(-1)^kcos(s)
|cos(t)|=cos(s)(∵-π/2≦s≦π/2)

となって絶対値が外れ，

∫［(k-1/2)π、(k+1/2)π］t|cos(t)|dt=∫［-π/2,π/2](s+kπ)cos(s)ds

=∫［-π/2,π/2]scos(s)ds+∫［-π/2,π/2]kπcos(s)ds

=2kπ∫［0,π/2]cos(s)ds=kπ(π-2)

と簡単に計算できます．結局(2)に対応する積分は

Σ［k=1,ｎ］∫［(k-1/2)π、(k+1/2)π］t|cos(t)|dt=π(π-2)Σ［k=1,ｎ］k

となります．

後は(1)，(2)を統合すれば計算完了です．

No.1 回答者： f272 回答日時： 2012/12/30 17:13

0から(n+1/2)π

を
0から(1/2)π
(1/2)πから(3/2)π
(3/2)πから(5/2)π
...
(n-1/2)πから(n+1/2)π
に分けた。