積分法（アステロイドの面積）について

t(0≦t≦2π)、a>0のとき、
x=acos^3t
y=asin^3t
で表されるアステロイドの面積Sを求めよ。

という問題で、答えが
S=4∫0,π/2　3a^2cos^2θsin^4θdθ=3/8π
なのですが、この途中計算がわかりません。

変形をしていって、
3a^2∫0,π/2（sin2θsinθ）^2にしてみたのですが、
ここで手が止まってしまいました。

詳しい計算法を教えて頂けるとありがたいです。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/07/31 14:12

アステロイド曲線で囲まれた部分の面積の求め方が、

参考URLに、途中計算つきで詳しく載っていますのでご覧下さい。

参考URL：http://www.cfv21.com/math/asteroid.htm

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/31 00:28

φ = π/2 - θ と置き換えてみる.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/30 23:07

∫0,π/2　3a^2cos^2θsin^4θdθ = ∫0,π/2　3a^2sin^2θcos^4θdθ

から「足して 2で割る」とちょっとは簡単... かなぁ?

この回答へのお礼

回答有り難うございます。

再び質問で申し訳ないのですが、
∫0,π/2　3a^2cos^2θsin^4θdθ = ∫0,π/2　3a^2sin^2θcos^4θdθ
というのは、どのように変形をしたのでしょうか？

sinとcosが入れ替わっていますが、三角関数の公式でしょうか。
数学が苦手で的はずれな質問になってしまっているかもしれませんが、よろしくお願いします。

お礼日時：2012/07/30 23:55