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- 回答日時:
>sinθ=3/5、(π/2<θ<π)のとき、次の値を求めよ。
cosθを求めます。θがこの範囲のときは、cosθ<0
cos^2θ=1-(3/5)^2=16/25 よって、cosθ=-4/5
2倍角の公式より、
>(1)sin2θ=2sinθcosθ=2×(3/5)×(-4/5)=-24/25
(π/2<θ<πのとき、π<2θ<2πだから、sin2θ<0です。)
>(2)tan2θ=sin2θ/cos2θ
cos2θを求めます。π/2<θ<πのとき、π<2θ<2πだから、場合分けが必要です。
cos2θ≠0だから、2θ≠3π/2より、θ≠3π/4
π<2θ<3π/2より、π/2<θ<3π/4のとき、cos2θ<0
3π/2<2θ<2πより、3π/4<θ<πのとき、cos2θ>0
cos^22θ=1-sin^22θ=1-(-24/25)^2=49/25^2 より、cos2θ=±7/25
よって、
π/2<θ<3π/4のとき、tan2θ=(-24/25)/(-7/25)=24/7
3π/4<θ<πのとき、 tan2θ=(-24/25)/(7/25)=-24/7
>(3)cosθ/2
半角の公式より、
cos^2θ/2=(1+cosθ)/2={1+(-4/5)}/2=1/10
π/2<θ<πのとき、π/4<θ/2<π/2だから、cosθ/2>0
よって、cosθ/2=√10/10
>(4)tanθ/2=sinθ/2/cosθ/2
π/2<θ<πのとき、π/4<θ/2<π/2だから、sinθ/2>0
sin^2θ/2=1-cos^2θ/2=1-(√10/10)^2=90/100=9/10より、
sinθ/2=3√10/10
よって、tanθ/2=(3√10/10)/(√10/10)=3
公式を使うほかに場合分けもあります。計算を確認して下さい。
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