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No.1
- 回答日時:
x=r cos(t),y=r sin(t)
とおいて置換積分
積分領域D={(x,y)|(x^2+y^2)^2 <= x^2-y^2 , x>=0}
これはレムニスケート曲線の右半分の内部領域(境界を含む)ですね。
参考URL
ttp://whatever.doorblog.jp/archives/21637791.html
積分領域Dと被積分関数がともにx軸対称あることからy>=0の積分領域D'(E)での積分を二倍すればよい。
D→D'={(x,y)|(x^2+y^2)^2 <= x^2-y^2 , x>=0,y>=0}
⇒E={(r,t)|0<=r<=√cos(2t),0<=t<=π/4}
∬[D] 1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy
=2∫[D']1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy
=2∫[E] 1/(1+r^2)^2 rdrdt
=2∫[0→π/4] {∫[0→√cos(2t)] r/(1+r^2)^2 dr}dt
=2∫[0→π/4] {[-(1/2)/(1+r^2)][0→√cos(2t)]}dt
=∫[0→π/4] 1-1/(1+cos(2t)) dt
=(π/4)-∫[0→π/4] 1/(1+cos(2t)) dt
=(π/4)-∫[0→π/4] (1/2)/(cos(t))^2 dt
=(π/4)-(1/2)[tan(t)][0→π/4]
=(π/4)-(1/2)
=(π-2)/4
参考URL:http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Lemni …
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