答えがない問題なので教えて下さい。
F(a)=インテグラ[0→π/2]|sin x - acos x | dx を最小にするaの値を求めよ。
もう10年以上前のことなのでやり方を忘れました。
自分で考えた解き方は絶対値の中を ≧0と <0で場合分けして
sin x - acos x ≧0の時
F(a)=インテグラ[0→π/2](sin x-acos x)dx
=[-cos x - asin x] 0→π/2
= -cos (π/2) - asin (π/2) - (-cos 0 - asin 0 )
こんな感じで解いていけばいいのでしょうか?
わかる方教えて下さい。よろしくお願いします。
なおパソコンでの書き方がよくわからず、すみません。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
a<=0のとき sinx-acosx を0からπ/2まで積分して 1-a・・・ここは単調減少
a>0のとき tanα=aとして
acosx-sinxを0からαまで積分,sinx-acosxをαからπ/2まで積分して加えると
2asinα+2cosα-a-1 となります。
この式はa=tanα,1/cosα=√1+(tanα)^2=√1+a^2を使うと
F=2√(1+a^2) -a-1 となるのでaで微分して増減をしらべる。
F'={2a-√(1+a^2)}/√(1+a^2)
F'=0となるのはa=1/√3のときです。
計算は合っていると思いますが,ご自分で確かめて下さい。
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