今年のセンター試験数学Ⅱ・Bの途中計算がわかりません。

今年のセンター試験数学Ⅱ・B第1問[1]の途中計算がわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。
[1]Oを原点とする座標平面上の2点P(2cosθ,2sinθ),Q(2cosθ+cos7θ,2sinθ+sin7θ)を考える。ただし、π/8≦θ≦π/4とする。
(1)OP=？,PQ=?である。またOQ^2=?+?(cos7θcosθ+sin7θsinθ)=?+?cos(?θ)である。
よって、π/8≦θ≦π/4の範囲で、OQはθ=π/?の時最大値√?をとる。

(2)3点O,P,Qが一直線上にあるようなθの値を求めよう。直線OPを表す方程式は？である。この事により、π/8≦θ≦π/4の範囲で、3点O,P,Qが一直線上にあるのはθ=π/?の時である事がわかる。

(3)∠OQPが直角となるのはOQ=√?の時である。したがって、π/8≦θ≦π/4の範囲で∠OQPが直角となるのはθ=?/?πの時である。

質問者からの補足コメント

• なぜそのような答えになるのか途中計算がわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

    補足日時：2015/01/31 03:12

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/30 22:29

(1)OP=2, PQ=1である。

また

OQ^2=(2cosθ+cos7θ)^2+(2sinθ+sin7θ)=5+4(cos7θcosθ+sin7θsinθ)

=5+4cos(7-1)θ=5+4cos(6θ)である。

よって、π/8≦θ≦π/4の範囲で、cos(6θ)は-1/√2～-1～０と変化するのでOQは5-2√2~1~5

と変化する。（グラフを書くこと）θ=π/4の時最大値√5をとる。

(2)3点O,P,Qが一直線上にあるようなθの値を求めよう。直線OPを表す方程式は

y=xtanθである。3点O,P,Qが一直線上にあるのはQがこの直線に乗ることであり

2sinθ+sin7θ＝(2cosθ+cos7θ)tanθ=(2cosθ+cos7θ)sinθ/cosθ

=2sinθ+cos7θ・sinθ/cosθ　⇒　sin7θ＝cos7θ・sinθ/cosθ　

⇒　sin7θ・cosθ-cos7θ・sinθ=sin(7-1)θ=sin6θ=0　

π/8≦θ≦π/4の範囲で、sin(6θ)は1/√2～0～-1と変化する。6θ＝π, θ＝π/6のとき

sin6θ＝0となり（グラフを書くこと）、π/8≦θ≦π/4の範囲に入っており、かつsin6θ＝0となるのは

この場合だけである。

この事により、π/8≦θ≦π/4の範囲で、3点O,P,Qが一直線上にあるのはθ=π/6の時である事がわかる。

(3)∠OQPが直角となるのはOQ=√(2^2-1^2)=√3の時である。したがって、

∠OQPが直角となるのは

5+4cos(6θ)=3 ⇒　cos(6θ)=-1/2

π/8≦θ≦π/4の範囲では6θ＝4π/3のときだけでありθ=2π/9の時である。