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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
i=e^(z) として、z=x*i によって、iを、eの階乗の形に表現します。これは、無論、オイラーの公式を使うためです。
i=e^(xi)=cos(x)+i*sin(x)
このような等式が成り立つには、
cos(x)=0 かつ sin(x)=1
→ x=(π/2)+n*π nは整数
i^i=e^(xi*i)=e^(-x) よって
i^i=e^[-(π/2+n*π)]
No.2
- 回答日時:
まず、複素平面上で考えます.
複素平面で半径:r、角度:θの点について考えると、
その点へのベクトルはr*cosθ+ir*sinθなので
=r(cosθ+isinθ)=re^iθ←オイラーの公式ですね.
次にiっていうのは複素平面上では実数軸が0、虚数軸が1の点ですので
上の式で表すとr=1、θ=π/2+2nπです.(n=1,2,3,・・・)
これを先ほどの式に代入すると
i=e^i(π/2+2nπ)になります.
このiを求めたいi^iの階乗じゃない方に代入すれば答えがでます.
ちなみにn=0とすれば答えは簡単でi^i=e^(-π/2)になります.
nが0じゃない場合はi^i=e^-(π/2+2nπ)
以上です.たぶんあってると思いますが、自分で確認してみてください.
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