逆三角関数の方程式の問題です。解いたらこうなりましたが、本には、解なしと書かれていました。僕が作った

逆三角関数の方程式の問題です。解いたらこうなりましたが、本には、解なしと書かれていました。僕が作ったこの解答のどこが違うのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/21 17:21

-π/2≦arcsinx≦π/2

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/21 17:18

計算は合ってて、その解でちゃんと sin(α+β) = x になる。

問題は、というかトリックは、cos^-1 と sin^-1 の値域にあるに違いない。

三角関数は周期関数なので、一対一写像でないから
三角関数そのものに逆関数は存在しない。
ふだん「逆三角関数」と呼んでいるのは、三角関数自身の逆関数ではなく、
三角関数の定義域を制限することで一対一にした部分関数に対する逆関数だ。

その際、制限のつけ方は文脈ごとに任されているのだが、
0 ≦ cos^-1 ≦ π, -π/2 ≦ sin^-1 ≦ π/2 に制限する場合が多く、
明示的に断らなくてもソレに決まってると思い込んでしまっている人も少なくない。
「解なし」と書いた著者も、そのタイプの人なのかもしれない。
あるいは、あなたが、本の中の逆関数の値域に関する記述を見落としたのかも。

0 ≦ cos^-1 ≦ π, -π/2 ≦ sin^-1 ≦ π/2 であれば、
0 ≦ cos^-1 (2/3) ≦ π/2, 0 ≦ cos^-1 (1/4) ≦ π/2 にはなるが、
cos α = 2/3, cos β = 1/4 に対しては π/2 < α+β < π となってしまうので
sin(α+β) = x が成立しても α+β = sin^-1 x にはならないのだ。

ひどくつまらないトリックではある。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/21 15:02

問題の方程式は

　arccos(2/3) + arccos(1/4) = arcsin(x)

ですか？

ここでは「x の定義域」は
　arcsin(x)
が一価関数になるように、通常は
　-π/2 ≦ x ≦ π/2
にすると思います。

質問者さんは「sin(α + β)」しか計算していませんが、
　cos(α + β)
を計算してみれば
　cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)
　　= (2/3)(1/4) - [(√5)/3][(√15)/4]
　　= 1/6 - (5√3)/12
　　= (2 - 5√3)/12 < 0
となって
　π/2 < α + β
となり、x の定義域から外れています。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/04/21 15:01

汚くて読めないのでテキトー

0≦Cos⁻¹≦π
|Sin⁻¹|≦π/2・・・・①

Cos⁻¹2/3≒0.84, Cos⁻¹1/4≒1.318　なので、①を満たさず。

この回答へのお礼

実際は綺麗めに書きましたが、gooで写真を撮るとなぜかぼやけてしまうので正直どうにもならないところもあります。

お礼日時：2024/04/21 16:41