好きなおでんの具材ドラフト会議しましょう

cos^4θの定積分をやりたいんですけど

範囲は-(π/2)からπ/2までなんですけど

これを
0からπ/2までの範囲に変換する方法ってどうやるのでしょうか?
模範解答に書いてありきになって投稿しました。

A 回答 (3件)

#2です。



分からなければ補足質問して下さい。

A#2の最後の式の

 =(1/4)∫[0→π/2] (3+4cos(2θ)+cos(4θ))dθ
の「cos(2θ)」や「cos(4θ)」の項は[0→π/2]で積分するとゼロになるので

 =(1/4)∫[0→π/2] 3dθ
 =(3/4)(π/2)
 =3π/8

となるかと思います。

なお、自力でやれるよう教科書で積分の所を復習するようにして下さい。
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cosθは偶関数なのでcos^4θも偶関数となります。


積分範囲も正負対称なので、積分範囲を半分の範囲の「0からπ/2」とすると、積分値は半分になるので

∫[-π/2→π/2] cos^4θdθ=2∫[0→π/2] cos^4θdθ
 =(1/2)∫[0→π/2] (2cos^2θ)^2dθ
 =(1/2)∫[0→π/2] (1+cos(2θ))^2dθ
 =(1/2)∫[0→π/2] (1+2cos(2θ)+cos^2(2θ))dθ
 =(1/2)∫[0→π/2] (1+2cos(2θ)+(1/2)+(1/2)cos(4θ))dθ
 =(1/2)∫[0→π/2] ((3/2)+2cos(2θ)+(1/2)cos(4θ))dθ
 =(1/4)∫[0→π/2] (3+4cos(2θ)+cos(4θ))dθ

後は分かると思うので自力でやってみて下さい。
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∫[-π/2~π/2]cos^4θdθ


=2∫[0~π/2]cos^4θdθ
です。
cos^4θは偶関数なので、y軸対象で、x>0の積分値とx<0の積分値が一致します。
よって、負の部分は考えなくてもよくて、この問題の場合、
∫[-π/2~0]cos^4θdθ=∫[0~π/2]cos^4θdθ
となり、上の式が成立します。
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