cos^4θの定積分

cos^4θの定積分をやりたいんですけど

範囲は-(π/2)からπ/２までなんですけど

これを
0からπ/２までの範囲に変換する方法ってどうやるのでしょうか？
模範解答に書いてありきになって投稿しました。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/06/13 18:19

#2です。

分からなければ補足質問して下さい。

A#2の最後の式の

　=(1/4)∫[0→π/2] (3+4cos(2θ)+cos(4θ))dθ
の「cos(2θ)」や「cos(4θ)」の項は[0→π/2]で積分するとゼロになるので

　=(1/4)∫[0→π/2] 3dθ
　=(3/4)(π/2)
　=3π/8

となるかと思います。

なお、自力でやれるよう教科書で積分の所を復習するようにして下さい。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/06/12 13:27

cosθは偶関数なのでcos^4θも偶関数となります。

積分範囲も正負対称なので、積分範囲を半分の範囲の「0からπ/2」とすると、積分値は半分になるので

∫[-π/2→π/2] cos^4θdθ=2∫[0→π/2] cos^4θdθ
　=(1/2)∫[0→π/2] (2cos^2θ)^2dθ
　=(1/2)∫[0→π/2] (1+cos(2θ))^2dθ
　=(1/2)∫[0→π/2] (1+2cos(2θ)+cos^2(2θ))dθ
　=(1/2)∫[0→π/2] (1+2cos(2θ)+(1/2)+(1/2)cos(4θ))dθ
　=(1/2)∫[0→π/2] ((3/2)+2cos(2θ)+(1/2)cos(4θ))dθ
　=(1/4)∫[0→π/2] (3+4cos(2θ)+cos(4θ))dθ

後は分かると思うので自力でやってみて下さい。

No.1 回答者： noname2727 回答日時： 2012/06/11 23:20

∫[-π/2～π/2]cos^4θｄθ

＝２∫[0～π/2]cos^4θｄθ
です。
cos^4θは偶関数なので、ｙ軸対象で、ｘ＞0の積分値とｘ＜0の積分値が一致します。
よって、負の部分は考えなくてもよくて、この問題の場合、
∫[-π/2～0]cos^4θｄθ＝∫[0～π/2]cos^4θｄθ
となり、上の式が成立します。