積分について

自然数nに対し∮（０からπ/2) cos^n x dx を求めよ。

この問題を教えてください。

No.2 回答者： greenmango-noteat. 回答日時： 2021/07/20 22:51

a(n) = ∫[0→π/2]cos^n(x)dx とします。

cos^n(x) = cos(x)・cos^(n-1)(x) = {sin(x)}'cos^(n-1)(x) より
a(n) = [sin(x)cos^(n-1)(x)][0→π/2]
- ∫[0→π/2]sin(x){(n-1)cos^(n-2)(x)・(-sin(x))}
= (n-1)∫[0→π/2]sin^2(x)cos^(n-2)(x)dx
= (n-1)∫[0→π/2](1 - cos^2(x))cos^(n-2)(x)dx
= (n-1)∫[0→π/2]cos^(n-2)(x)dx - (n-1)∫[0→π/2]cos^n(x)dx
= (n-1)a(n-2) - (n-1)a(n) となります。

よって
a(n) = (n-1)/n・a(n-2)という漸化式になります。

a(0) = π/2, a(1) = 1, a(2) = π/4, … で
a(2) = 1/2・a(0)
a(4) = 3/4・1/2・a(0)
a(6) = 5/6・3/4・1/2・a(0)

なので n が偶数のとき
a(n) = (n-1)・(n-3)・ … ・1/{n・(n-2)・ … ・2} × a(0)
(n-1)・(n-3)・ … ・1 = (n-1)!/[{(n-2)/2}!・2^{(n-2)/2}]
n・(n-2)・ … ・2 = (n/2)!・2^(n/2) より
(n-1)・(n-3)・ … ・1/{n・(n-2)・ … ・2}
= (n-1)!/[{(n-2)/2}!(n/2)!・2^(n-1)}
= n!/{(n/2)!²・2^n} となります(汗)
a(n) = n!/{(n/2)!²・2^n}・π/2 です。
T(n) = n!/{(n/2)!²・2^n} とすると
a(3) = 2/3・a(1)
a(5) = 4/5・2/3・a(1)
a(7) = 6/7・4/5・2/3・a(1)

nが奇数のときは a(n) = 1/(n+1)・1/T(n+1)・a(1) より
a(n) = {((n+1)/2)!²・2^(n+1)}/{(n+1)(n+1)!} です。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2021/07/20 22:50

細かい話で恐縮ですがここで∮を使うのは間違いです。

これは閉曲線上の線積分や閉曲面上の面積分の時に使うものなので、この場合の積分は普通の∫です。