微分積分の問題。微分係数の問題です。

次の関数について（）内の点における値と微分係数を求めよ。

(1)y=Sin^-1 x/2 (x=1)

(2)y=(Tan^-1x)^2 (x=-1)



値は分かるんですけど微分係数の求め方が分かりません。


lim(h→0) ｛f(a＋h)-f(a)｝/h で求めるんでしょうか？でも求まらないような……。

途中式含め教えて下さい。お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/04/03 03:42

(1)はy = Arcsin(x/2) という解釈でいいんですよね?

y = (Arcsin x)/2 ではないですよね?

(1) x = 1のときy = Arcsin(1/2) = π/6.

y = Arcsin(x/2)より
x = 2sin y
dx/dy = 2cos y

∴dy/dx = 1/(dx/dy)
= 1/(2cos y) = 1/(2cos(π/6)) = 1/√3 = (√3)/3.

(2) x = -1のときy = (Arctan(-1))^2 = (-π/4)^2 = (π/4)^2.

y = (Arctan x)^2より
Arctan x = ±√y.
この問題では x = -1 (< 0)の場合を考えており，
Arctan x = -√y.

x = tan(-√y) = -tan √y
dx/dy = -(1/cos^2 √y) 1/(2√y)

∴dy/dx = 1/(dx/dy)
= -(2√y)cos^2 √y
= -2・(π/4)・cos^2(π/4)
= -2・(π/4)・1/2
= -π/4.

※ついうっかり符号の処理を誤ってしまいそう．

[別解]
(Arcsin x)' = 1/√(1 - x^2),
(Arctan x)' = 1/(x^2 + 1)
を用いると，

(1)
dy/dx = 1/{2√(1 - (x/2)^2)} = 1/√(4 - x^2)
= 1/√3 = (√3)/3.

(2)
dy/dx = (2 Arctan x)/(x^2 + 1)
= (2 Arctan(-1))/2
= -π/4.

※符号の処理をしなくていいから，こっちのほうが間違いは少ないかも...

No.2 回答者： BOMBARDMENT 回答日時： 2011/04/03 01:17

逆三角関数はそのままでは微分できませんので、ｘとｙを逆にした陰関数表示をしてみましょう。

(1)の、

　y=arcsin(x/2)

は、陰関数表示で

　x=sin(y/2)

となります。両辺をｙで微分すると、

　dx/dy=(1/2)cos(y/2)

となりますから、x=1におけるyの主値π/6を上式に代入すれば、その逆数が微係数になります。
cosπ/6=√3/2であることから、半角の公式（cos^2y=(1+cos2y)/2）よりcos^2(π/12)=(2+√3)/4となり、

　dy/dx(y=π/12)=√(2+√3)

となりました。

同様に、(2)も陰関数で表して、

　x=tan^2y

両辺をyで微分して、

　dx/dy=2tanysec^2y

であり、x=-1における主値y=3π/4を上式に代入して逆数を取り、

　dy/dx(y=3π/4)=(-1/√2)^2/(-2)=-1/4

となりました。どうでしょうか？

　

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/04/02 22:52

微分しちゃダメなの?