∫[0→π/2](cosx)^3/(cosx+sinx)dxを求めよ

答えが(π-1)/4になりますが、どうしても解けません。解法を教えてください

A 回答 (2件)

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参考になれば幸いです(^^)
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この回答へのお礼

2Iにして計算するとは思いもよりませんでした
分かりやすい解説 ありがとうございます

お礼日時:2017/02/25 19:17

u = π/2 - x と変数変換すれば, あっさり解決する.

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この回答へのお礼

分かりました
変数変換して解いてみます

お礼日時:2017/02/25 19:16

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Q∫[π/2~-π/2]cosx dx の解法

タイトルの通りです。
文系なので今まで数学はあまりしっかりやらなかったのですが、どうしてもやるしかなくなってしまい…OTL

しかし引っ張りだしたIIBのテキストには解法が見当たらず質問いたしました。

詳しくしていただけますと非常に助かります、お願いします。

Aベストアンサー

積分と面積の区別は、理解できていたほうがよいです。
面積を求めるなら求めるで、何の面積を求めるのか自分で解っていないと。

cos(x) の、x が π/2 から -π/2 までの積分を求めたいのであれば、

∫[π/2 → -π/2] cos(x) dx = sin(-π/2) - sin(π/2) = (-1) - (1) = -2
(積分の下限: π/2, 積分の上限: -π/2)

となります。cos(x) の不定積分が sin(x) + (定数) ですからね。

Q∫log sinx dxや∫log cosx dx のやり方

∫log sinx dxや∫log cosx dxの計算をやっているのですが、置換積分や部分積分をフル活用しているのですが、先が見えません。助けて下さい。

Aベストアンサー

こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え
します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。ここで、xをπーxに、又はπ/2-x
と変数変換すると
I=∫_{x=π/2~π}log (sinx) dx
I=∫_{x=0~π/2}log (cosx) dx
となります。これらは、右辺の広義積分が収束して
値がIに等しいことを意味します。一方、
2I=∫_{x=0~π}log (sinx) dx
であり、x=2tとおくと
I=∫_{x=0~π/2}log (sin2t) dt
 =∫_{x=0~π/2}log (2 sint cost) dt
 =∫_{x=0~π/2}log 2 dt+∫_{x=0~π/2}log (sint) dt+∫_{x=0~π/2}log (cost) dt
=π/2*log 2+2I
∴ I=ーπ/2*log 2
となります。ご参考までに。

こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え
します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。...続きを読む

Qn^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθの極限

cosθ=exp(-(1/2)θ^2+a(θ)θ^2)
a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおく事をヒントに、
lim(n->∞)n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ=(2π)^1/2
が示せるそうなんですが、全くわかりません。
変数変換するんでしょうけどうまくいきません…助けてください。
(∫[x=-∞,∞] exp(-x^2) dx=π^1/2 を使うらしいです)

Aベストアンサー

a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおき、
θ√n=xとおくと、

n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ 
 = ∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]exp(-(1/2)x^2+a(x/√n)x^2)dx

とかけます。
被積分関数の中の、a(x/√n)の部分は、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2

となります。cosを原点の周りで展開すると、

 cos(x/√n)=1-(1/2)x^2/n+O(x^4/n^2)

と書けるので、これをlogに入れてやると、

 log(cos(x/√n))=log(1-x^2/(2n)+O(x^4/n^2))

となります。logを1の周りで展開すると、

 log(cos(x/√n))=-x^2/(2n)-O(x^4/n^2)

となるので、結局、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2
     =n[-x^2/(2n)-O(x^4/n^2)]/x^2 +1/2
     =-1/2-O(x^2/n)+1/2
     =-O(x^2/n)

となります。これを元の被積分関数のexpに戻すと、
被積分関数 fn(x)は、

 fn(x) = exp(-(1/2)x^2 - O(x^2/n))

となります。
n→∞のとき、fn(x)→exp(-x^2/2) に収束します。また、このとき積分範囲は[-∞,∞]となります。

極限操作と積分の順序を入れ替えてもよいならば、
(この辺が少し曖昧ですが・・)

lim(n→∞)∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]fn(x)dx
 =∫[x=-∞,∞]exp(-x^2/2)dx
 =√(2π)

となります。

極限操作と積分の順序を入れ替えるには、何らかの定理を使う必要があるかもしれません。

a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおき、
θ√n=xとおくと、

n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ 
 = ∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]exp(-(1/2)x^2+a(x/√n)x^2)dx

とかけます。
被積分関数の中の、a(x/√n)の部分は、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2

となります。cosを原点の周りで展開すると、

 cos(x/√n)=1-(1/2)x^2/n+O(x^4/n^2)

と書けるので、これをlogに入れてやると、

 log(cos(x/√n))=log(1-x^2/(2n)+O(x^4/n^2))

となります。logを1の周りで展開すると、

 log(cos(x/√n))=...続きを読む

Q【問題】∫{(cosx)^2*(sinx)^3}dxの計算をせよ。

【問題】∫{(cosx)^2*(sinx)^3}dxの計算をせよ。
(cosx)^2=1-(sinx)^2や(cos2x)=1-2(sinx)^2などを使おうと試みたのですがわかりませんでした^^;
どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

cos~2 = 1 - sin~2 が上手くいかなかった後、
sin~2 = 1 - cos~2 は試してみなかったのですか?

Qcosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 +

cosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 + {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx)  
(0<θ<1)

f(x) = (4/π^2)・{2(x-π/4)(x-π/2)-√2・x(x-π/2)}
このグラフが分かりません…
教えてください!

Aベストアンサー

+ {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx) は
+ {(x-π/4)^3/3!}・cos(θ(x-π/4)) ではないかと...違うかな?

で、これは cosx そのものです。θは x の関数なのでそれに惑わされないように。


下のはそれでなく、f(x)=(8/π^2){ (x-π/4)(x-π/2) - √2 x(x-π/2) } が正しいと思います・・・
このグラフは添付した図になります。
かなり近いです。

描き方は、計算機を用意して頂点を数値計算、あとは (0, 1) 、(π/4, 1/√2) 、(π/2, 0) を通るように二次関数のグラフを描けば良いです。
あるいはグラフ描画ソフトの力を借ります。


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