積分 曲線の長さ

次の曲線の長さを求めてください。

(1)y=logx (0≦x≦π/3)
(2)x=θcosθ y=θsinθ (0≦θ≦2π)

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/12/10 16:25

#1～#3です。

A#3の補足での問題修正後の計算

A#1の積分範囲を訂正すると

>y=log(x) (0≦x≦π/3)
>y'=1/x
s=∫[1,2]√(1+y'^2) dx
=∫[1,2]√(1+x^2)/x dx
=[√(x^2+1)-asinh(1/x)][1,2]
=asinh(1)-asinh(1/2)+√5　-√2
公式：asin(t)=ln(t+√(1+t^2))より
=ln(1+√2)-ln(1+√5)+ln(2)+√5 -√2
≒1.2220

となります。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/12/10 14:35

#1,#2です。

(2)の途中計算の
>∫[0,2π]√(1+θ^2) dθ
の不定積分
∫√(1+θ^2) dθ
の途中計算については、次の過去の質問
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6953674.html
∫√(1+x^2) dx
での回答をご覧下さい。

また(2)の結果は
>=π√(1+4π^2) +(1/2)ln(2π+√(1+4π^2))
≒21.2562941482091…
と行った値になります。

なお、(1),(2)の関数のグラフを添付します。
青実線の(1)のy=log(x) (0≦x≦π/3)のグラフは、
x→0+でy→-∞となります（y軸が漸近線）ので曲線の長さは∞になることは明らかです。

黒実線の(2)のグラフは、図のような反時計回りのうずまき状の曲線（螺旋）になり、
x=θcosθ y=θsinθ (0≦θ≦2π)
の曲線の全長はA#1で求めた計算結果となり、数値に直せば約21.3となります。

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました。ちなみに(1)なんですが、問題間違えてました。正しくは(1≦x≦2)でした。本当にすみませんでした。

お礼日時：2012/12/10 15:26

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/12/09 23:42

#1です。

曲線の長さの公式が載っている参考URLを貼り付けるのを忘れました。

例えば、下記のURLです。

参考URL：http://naop.jp/text/3/seki16.html

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/12/09 23:39

参考URLの曲線の長さの公式を使って計算すればいいでしょう。

教科書にも曲線の長さの公式は載ってるはずですから復習しておいて下さい。

(1)
問題合ってますか？
y=log(x) (0≦x≦π/3)
y'=1/x
s=∫[0,π/3]√(1+y'^2) dx
=∫[0,π/3]√(1+x^2)/x dx
=∞


(2)x=θcosθ y=θsinθ (0≦θ≦2π)
x'=cosθ-θsinθ, y'=sinθ+θcosθ
s=∫[0,2π]√(x'^2+y'^2) dθ
=∫[0,2π]√(x'^2+y'^2) dθ
=∫[0,2π]√(1+θ^2) dθ
= ... (途中計算はやってみて下さい)
=π√(1+4π^2) +(1/2)ln(2π+√(1+4π^2))

この回答へのお礼

なかなか回答にたどりつけません。もう一回やってみます。ありがとうございました。

お礼日時：2012/12/10 06:41