積分の質問です √(x^2+1)

積分の質問です √(x^2+1)

積分で 回答に x+√(x^2+1)をtと置くってなっているのですが
なんではじめにxをつけたのですか？
どこを見てそれを判断すればいいのか教えてください。
よろしくおねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/08/19 21:07

>積分で 回答に x+√(x^2+1)をtと置くってなっているのですが

なんではじめにxをつけたのですか？
この置換は苦肉の策です。理屈ではなくその置換でないと高校数学レベルでは積分できません。先人の見つけた知恵です。あとに続く後輩は、先人が見つけた方法を使わせていただかないと他の方法では積分出来ないということです。なので
√(x^2+1)の積分は置換「t=x+√(x^2+1)」をすると決まっている（他に変わる方法がないという意味）のです。高校数学では丸覚えするしかないですね。

しかし大学数学で双曲線関数を習うと事情は一変します。
以下参考にして下さい。
∫√(1-x^2)dxの場合は x=sin(t) で置換積分しますね。
この場合
∫√(1-x^2)dx=∫(cos(t))^2 dt =∫(1+cox(2t))/2 dt=(t/2)+sin(2t)/4+C
変数をxに戻すと
=asin(x)/2+x√(1-x^2)/2+C
と積分が完了します。

これと同じように双曲線関数（参考URL参照）を用いると
∫√(1+x^2)dx　の積分は x=sinh(t) で置換積分します。
この場合
∫√(1+x^2)dx=∫(cosh(t))^2 dt=∫(1+cosh(2t))/2 dt=(t/2)+sinh(2t)/4+C
変数を元に戻すと
=asinh(x)/2+(1/2)x√(1+x^2)+C
と積分できてしまいます(asinhはarcsinhのことです)。

高校レベルでの積分の結果との対応は
asinh(x)≡log(x+√(x^2+1))
です。
実は、この関係のlog()の中の t=x+√(x^2+1) が高校数学レベルの積分で使われる
置換なのです。大学数学レベルでの置換のx=sinh(t)に変わる置換といえます。
大学数学レベルの数学での双曲線関数での置換を習えば t=x+√(x^2+1)　の置換も
納得行くでしょうが、高校数学の段階で習わない双曲線関数による置換を対応させて
説明できないので、やむなく理屈ぬきで上記の置換を行って（行うことによって）積分が可能になるのです。質問者さんのように「なぜこのような置換をするんだ」といった疑問をもつ人は多いでしょう。でも理屈ぬきでこの積分はt=x+√(x^2+1)という置換をして積分すれば積分できるんだ。と教えられ、そうすれば実際積分できるわけです。なので高校数学の段階ではそう覚えていただくしかないでしょう。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2% …

この回答へのお礼

そうなんですね、ありがとうございます！

お礼日時：2011/08/21 15:59

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/08/19 22:13

∫{√(x^2+1)}dx という式を見て t = x+√(x^2+1) を思いつく人は、

そうやたらには居ません。多くの人は、参考書にそう書いてあったのを
覚えているだけのことです。暗記モノです　…と言っても、
t = x+√(x^2+1) という置換は、あまり覚えやすくはないですよね。
替わりに、x = tanθ で置換することを覚えておくとよいと思います。
こっちなら、重要公式 (tanθ)^2+1 = 1/(cosθ)^2 を連想すれば、
思い出せますよね？ θに置換した後の積分がどうなるか、実際に
計算して確認しておいてください。

この回答へのお礼

分かりやすい説明
ありがとうございます、
計算してみます＾＾

お礼日時：2011/08/21 15:58