高校数学の部分積分

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の回答についての質問です

> I(n) = ∫[0→1] x'( 1 - x^2 )^n dxとみて部分積分。
なら

　　In = ∫[0→1](1-x2)^n dx
　　　 = ∫[0→1]x'(1-x2)^n dx
　　　 = [x(1-x2)^n][0→1] + 2n∫[0→1]( x(1-x^2)^(n-1) )dx

だと思うのですが、上記の回答では

　　I(n) = [x(1-x^2)^n](0→1) - 2n∫(0→1)(-x^2)(1-x^2)^(n-1) dx

書き直せば

　　I(n) = [x(1-x^2)^n](0→1) + 2n∫(0→1)x^2(1-x^2)^(n-1) dx

ですが、なぜ第2項の積分は x ではなく x^2 になるのでしょう？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/26 18:38

∫x'dx=x・・・・①

{(1-x^2)^n}'={n(1-x^2)^(n-1)}{1-x^2}'
={n(1-x^2)^(n-1)}{-2x}
=-2n(1-x^2)^(n-1)}{x}

なので、①のxと合わせて x²

この回答へのお礼

すばやい回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2022/06/26 19:25